Энергия взаимодействия заряженных частиц. Работа электрического поля. Движение системы заряженных частиц.: Электростатика

№ 4

Условие

Четыре одинаковых заряженных шарика, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, связаны нерастяжимыми нитями длиной L , образуя квадрат. Одна из нитей пережигается. Какие скорости будут иметь шарики в тот момент, когда они расположатся на одной прямой? Заряд каждого шарика равен q , масса каждого шарика m . Радиус шарика считать малым по сравнению с длиной нити.

Решение

5.8 Аналогично прошлой задаче система является замкнутой, поэтому мы можем воспользоваться З.С.И. и З.С.Э. . Будут они соответственно выглядеть следующим образом:

\begin{aligned}

&\begin{cases}

\begin{aligned}

&0 = 2mu - 2mv\\

&\frac{4kq^2}{L} + \frac{2kq^2}{\sqrt{2}L} = 2\frac{mv^2}{2} + 2\frac{mu^2}{2} + \frac{3kq^2}{L} + \frac{2kq^2}{2L} + \frac{kq^2}{3L}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

& v = u \\

&(\sqrt{2} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{kq^2}{L} = 2mv^2

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \\

&\Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{kq^2}{2mL} \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{3})}.

\end{aligned} № 5

Условие

Три одинаковых шарика (заряд каждого шарика равен q , масса каждого шарика m ) находятся на гладкой поверхности на одной прямой, средний связан с крайними нитями длины L, какую минимальную скорость надо сообщить центральному шарику, чтобы все три в процессе движения могли образовать равносторонний треугольник?

Решение

1.png

По теореме Кёнига:

E_{кин} = \underbrace{E_{\text{кин ц.м.}}}_{остаётся, т.к. \vec{p} = comst} + E_{\text{кин отн-но ц.м.}}, следовательно кинетическая энергия будет минимальной тогда, когда кинетическая энергия относительно центра масс будет равна нулю, то есть скорости относительно центра масс двигаться не будут, следовательно в конце все шары должны прийти к одной скорости.

Аналогично двум прошлым задачам система является замкнутой, поэтому мы можем записать закон сохранения импульса, а также закон сохранения энергии. Будут они выглядеть следующим образом:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&mv_{\min} = 3mu \\

&\frac{5kq^2}{L} + \frac{mv_{\min}^2}{2} = \frac{3kq^2}{L} + \frac{3mu^2}{2}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{2mv_{\min}^2}{3} = \frac{kq^2}{L} \quad \Rightarrow \quad v_{\min} = \sqrt{\frac{3 kq^2}{2L m}}. № 6

Условие

На расстоянии h от середины спицы и на расстоянии R от её концов закреплён заряд q . На левый конец спицы надевают бусинку с также же зарядом q и массой m . Бусинку толкают вдоль спицы. Найдите начальную скорость бусинки, если её скорость в середине спицы равна v_{1} , а при достижении правого конца равна v_{2} . Коэффициент трения всюду одинаков.

Решение

5.11 Поскольку коэффициент трения одинаков на всём пути бусинки, то и работа на первой половине пути равна работе на второй половине. Напишем работу силы трения для первой половины пути:

A_{тр} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{kq^2}{h} - \left( \frac{mv_0^2}{2} + \frac{kq^2}{R} \right), \quad (1) а затем для всего пути бусинки без учёта энергии взаимодействия зарядов, поскольку расстояния в начале и в конце пути одни и те же:

2A_{тр} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}. \quad (2) При подстановке работы силы трения из (1) в (2) получаем конечный ответ:

v_0=\sqrt{2v_1^2-v_2^2 + \frac{4kq^2}{m} \cdot \left( \frac{1}{h} - \frac{1}{R} \right)}. № 7

Условие

С большого расстояния навстречу друг другу со скоростью соответственно v_{1} и v_{2} движутся два электрона. Определите минимальное расстояние на которое они сблизятся.

Решение

5.12 Энергия взаимодействия электронов на бесконечности равна нулю, а при их максимальном сближении относительная скорость становится равной нулю. Поскольку система является замкнутой относительно внешних сил, то мы можем использовать З.С.И. (в проекциях на Ox ) и З.С.Э. . Будут они выглядеть следующим образом:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&mv_1 - mv_2 = 2mu \\

&\frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = 2\frac{mu^2}{2} + \frac{ke^2}{d}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{ke^2}{d} = \frac{m(v_1+v_2)^2}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{4ke^2}{m(v_1+v_2)^2}.