Электрическое поле и потенциал. Проводники в электрическом поле. Часть 1.: Электростатика

№ 7

Условие

Металлический шар радиуса R_{1} , заряженный до потенциала \varphi , окружают концентрической проводящей незаряженной оболочкой радиуса R_{2} . Чему станет равен потенциал шара, если заземлить оболочку? Соединить шар с оболочкой проводником?

Решение

Весь заряд будет на поверхности шара:

\varphi = \frac{kq_1}{R_1} \quad \Rightarrow \quad q_1 = \frac{\varphi R_1}{k}.

10.png 11.png

1) Заземлим оболочку:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\varphi_1(R_1) = \frac{kq_2}{R_2} + \frac{kq_1}{R_1} \\

&\varphi_2(R_2) = 0 =\frac{kq_2}{R_2} + \frac{kq_1}{R_2}

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\varphi_1 = kq_1 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \varphi \left( 1 - \frac{R_1}{R_2} \right) \\

& q_2 = -q_1

\end{aligned}

\end{cases}. 2) Соединим проводником. Воспользуемся законом сохранения зарядом, а также равенством потенциалов:

\left.

\begin{cases}

\begin{aligned}

&q_1' + q_2' = q_1 \\

&\varphi_1 = \varphi_2

\end{aligned}

\end{cases} \right\} \quad \Rightarrow \quad \frac{kq_1'}{R_1} + \frac{kq_2'}{R_2} = \frac{k q_1'}{R_2} + \frac{kq_2'}{R_2} \quad \Rightarrow \quad q_1' = 0. Можно было и сразу сказать, что весь заряд перетёк на внешнюю сферу, чтобы E=0 вдоль проводника. Тогда:

\varphi_1 = \frac{kq_2'}{R_2} = \frac{kq_1}{R_2} = \varphi \frac{R_1}{R_2}. № 8

Условие

С помощью электрофорной машины металлический шарик 1 можно зарядить до заряда Q . Затем, через соприкосновение с металлическим шариком 2, можно передать тому часть заряда. При первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд q . Определите, до какого заряда, многократно повторяя процесс, можно зарядить шарик 2.

12.png

Решение

13.png

При соединении проводников заряды перестают перетекать, когда потенциалы выравниваются.

Первое соприкосновение:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\varphi_1 = \varphi_2 \\

&\varphi_1 = k_1 q_1 \\

&\varphi_2 = k_2q_2

\end{aligned}

\end{cases}. Поскольку:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&q_2 = q \\

&q_1 = Q-q_2

\end{aligned}

\end{cases}, то:

\frac{k_1}{k_2} = \frac{q}{Q-q}. При n -ом соприкосновении заряды не меняются:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&k_1q_{1n} = k_2q_{2n} \\

&q_{1n} = Q

\end{aligned}

\end{cases}. k_1 и k_2 те же и зависят только от геометрии, тогда:

q_{2\max} = \frac{k_1}{k_2}Q = \frac{qQ}{Q-q}. № 9

Условие

Проводящая сфера: Внутри тонкостенной незаряженной проводящей сферы радиусом R находится точечный заряд Q_{1} на расстоянии R / 3 от центра сферы O . Снаружи сферы находится точечный заряд Q_{2} на расстоянии 2 R от центра сферы. Сфера расположена на расстоянии от Земли значительно большем R и соединена с Землей через источник с ЭДС \mathcal{E} и ключ K . Потенциал Земли примите равным нулю.

а. Найдите потенциал \varphi в центре сферы при разомкнутом ключе K.

b. Найдите заряд Q сферы после замыкания ключа K и наступления равновесия.

14.png

Решение

1. До замыкания ключа заряды на внутренней и внешней поверхностях сферы распределяются неравномерно, но их суммарный заряд равен нулю. Потенциал в центре сферы:

\varphi=k \frac{Q_{1}}{R / 3}+k \frac{Q_{2}}{2 R}=\frac{k}{R}\left(3 Q_{1}+\frac{Q_{2}}{2}\right) . 2. После замыкания ключа на внутренней и внешней поверхностях сферы появятся заряды q_{1} и q_{2} . Причём q_{2}=-Q_{1} . Найдём q_{2} Потенциал сферы равен \mathcal{E} и создаётся зарядами Q_{2} и q_{2} , так как заряды Q_{1} и q_{1} вне сферы поля не создано. Уберём мысленно заряды Q_{1} и q_{1} . .Распределение заряда q_{2} при этом не изменится. В поле, создаваемом зарядами Q_{2} и q_{2} , потенциал сферы (равный \mathcal{E} ) равен потенциалу в центре сферы:

k \frac{q_{2}}{R}+k \frac{Q_{2}}{2 R}=\mathcal{E}. Откуда

q_{2}=\frac{\mathcal{E} R}{k}-\frac{Q_{2}}{2}=4 \pi \varepsilon_{0} \mathcal{E} R-\frac{Q_{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad Q=q_{1}+\varphi_{2}=-Q_{1}-\frac{Q_{2}}{2}+4 \pi \varepsilon_{0} R \mathcal{E} .