Электрическое поле и потенциал. Проводники в электрическом поле. Часть 1.: Электростатика

№ 3

Условие

Почему электрическое поле внутри проводника равно нулю? Почему электрическое поле проводника перпендикулярно к ней? Достаточно ли этих условий, чтобы потенциал в любой точке проводника был одинаков?

Решение

4.png

Если поле в проводнике не нулевое, то электроны будут перемещаться до тех пор, пока поле не станет равным нулю, поскольку на них действует сила со стороны электрического поля:

\vec{F}_{эл} = -e \cdot \vec{E}.

Если на поверхности проводника вектор напряжённости электрического поля не перпендикулярен к поверхности, то есть сила со стороны электрического поля, приводящая к перемещению электронов вдоль поверхности проводника, следовательно, напряжённость перпендикулярна ей.

\Delta \varphi = 0 внутри проводника, так как:

\Delta \varphi = (\vec{E}, \Delta \vec{l}) = 0. На поверхности, тогда \varphi = const .

Этих условий достаточно.

Таким образом, E=0 внутри проводника, \vec{E} \perp поверхности проводника, \Delta \varphi = 0 ( \varphi = const ).

Основные свойства проводников в электростатике!

№ 4

Условие

Используя теорему Гаусса, докажите, что объемная плотность заряда внутри проводника равна нулю и что поверхностная плотность заряда проводника \sigma связана с напряженностью электрического поля вне проводника вблизи его поверхности соотношением E=\sigma / \varepsilon_{0} .

Решение

5.png

Используем теорему Гаусса внутри проводника:

\oint E_n dS = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho (r) dV = 0, поскольку E=0 внутри, следовательно, \rho(r) = 0 внутри проводника.

Напишем теорему Гаусса для случая вне проводника вблизи его поверхности с учётом того, что \Delta q =\sigma \Delta S :

E_n \Delta S = \frac{\sigma \Delta S}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E_n = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}. № 5

Условие

Две бесконечные проводящие изолированные плиты заряжены так, что поверхностная плотность заряда обеих сторон первой плиты равна \sigma_{1} , а второй \sigma_{2} . Плиты параллельны друг другу. Найдите поверхностную плотность заряда на каждой стороне плит.

6.png

Решение

7.png

Используем принцип суперпозиции с учётом того, что в проводнике напряжённость электрического поля равна нулю, а также закон сохранения заряда:

\left.

\begin{aligned}

&\begin{cases}

\begin{aligned}

&\frac{\sigma_{11}}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_{12}}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_{21}}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_{22}}{2\varepsilon_0} = 0 \\

&\frac{\sigma_{11}}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_{12}}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_{21}}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_{22}}{2\varepsilon_0} = 0

\end{aligned}

\end{cases} \\

&\begin{cases}

\begin{aligned}

&\sigma_{11} + \sigma_{12} = \sigma_1 \\

&\sigma_{21} + \sigma_{22} = \sigma_2

\end{aligned}

\end{cases}

\end{aligned}\right\} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\sigma_{11} +\sigma_{12} = \sigma_{1} \\

&\sigma_{21} + \sigma_{22} = \sigma_{2} \\

&\sigma_{11} - \sigma_{22} = 0 \\

&\sigma_{12} + \sigma_{21} = 0

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\sigma_{11} = \sigma_{22} = \frac{\sigma_{1} + \sigma_{2}}{2} \\

&\sigma_{12} = -\sigma_{21} = \frac{\sigma_{1} - \sigma_{2}}{2}

\end{aligned}

\end{cases}. № 6

Условие

В полости металлического шара радиуса R находится заряд q. Найдите заряд, индуцируемый этим зарядом на поверхности полости. Почему на поверхности шара заряд будет распределен с постоянной плотностью? Чему равна поверхностная плотность заряда шара, если его полный заряд равен нулю? Найдите напряженность электрического поля вне шара на расстоянии L от его центра в случае, если его полный заряд равен q . Зависит ли это поле от месторасположения полости в шаре? От ее формы?

8.png

Решение

9.png

Из закона сохранения заряда:

q_1 + q_2 = q, где q_1 - заряд на внутренней полости, а q_2 - заряд на сфере.

Напишем теорему Гаусса для поверхности внутри проводника вокруг полости:

\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = 0 = Q + q_1 \quad \Rightarrow \quad q_1 = -Q. Затем теорему Гаусса для поверхности снаружи:

\oint E dS = \frac{1}{\varepsilon_0} (q_2 + \underbrace{Q+q_1}_{=0}) = \frac{q_2}{\varepsilon_0}. Чтобы поле от сферы с q_2 было равно нулю, внутри заряд должен быть равномерно распределён:

q_2 = q + Q, тогда:

\begin{aligned}

&\sigma = \frac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{Q + q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}, \\

&E(L) = \frac{kq_2}{L^2} = \frac{k(Q+ q)}{L^2} = \frac{Q+q}{4 \pi \varepsilon_0 L^2}.

\end{aligned} Данное поле не зависит от положения Q и формы полости (экранирование).