Электрическое поле и потенциал. Проводники в электрическом поле. Часть 2.: Электростатика

№ 3

Условие

Найдите напряженность электрического поля между тремя пластинами в случае, если средняя пластина заземлена. Расстояние между средней пластиной и крайними a и b . Потенциал крайних пластин \varphi .

Решение

Потенциалы крайних пластин выражаются следующим образом:

4.png

\begin{aligned}

&E_1 a = \varphi \quad \Rightarrow \quad E_1 = \frac{\varphi}{a} \\

&E_2 b = \varphi \quad \Rightarrow \quad E_2 = \frac{\varphi}{b}

\end{aligned}.

№ 4

Условие

Чему равна разность потенциалов между крайними пластинами в системе, состоящей из трех параллельных бесконечных пластин, заряженных одноименными зарядами с поверхностной плотностью заряда \sigma_{1} , \sigma_{2} и \sigma_{3} ? Средняя пластина находится на расстоянии h_{1} от первой и на h_{2} от третьей пластины.

Решение

5.png

Разность потенциалов между крайними пластинами выражается следующим образом:

\Delta \varphi_{13} = E_1h_1 + E_2 h_2. А поскольку напряжённость выражается так:

E_1 = \frac{\sigma_1 - \sigma_2 - \sigma_3}{2\varepsilon_0}, \quad E_2 = \frac{\sigma_1 + \sigma_2 - \sigma_3}{2\varepsilon_0}, то

\Delta \varphi_{13} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2\varepsilon_0} (h_1 + h_2) + \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}(h_2 - h_1). № 5

Условие

Между двумя заземленными металлическими пластинами находится одинаковая с ними по размерам тонкая пленка с поверхностной плотностью заряда \sigma . Расстояние от нее до верхней пластины a , до нижней b . ( a и b много меньше линейных размеров пластин).

a. Определите поверхностную плотность заряда, индуцируемого на них.

b. Между заземленными параллельными пластинами на расстоянии от a и b от них находится заряд q . Линейные размеры пластин много больше расстояния между ними. Докажите, что заряды, индуцируемые на заземленных пластинах не изменятся, если заряд q распределить по плоскости, лежащей между пластинами на том же расстоянии, что и заряд q . Определите заряд пластин.

6.png

Решение

a.

7.png

Поскольку пластины заземлены, то их потенциал равен нулю, тогда разность потенциалов между ними и плёнкой будет:

\Delta \varphi = E_1 a = E_2 b. \quad (1) Напряжённость полей между пластинками и плёнкой выражается следующим образом:

E_1 = \frac{-\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma}{2\varepsilon_0}, \quad E_2 = \frac{\sigma_1 + \sigma - \sigma_2}{2\varepsilon_0}.

Из закона сохранения заряда:

\sigma_1 + \sigma_2 = -\sigma. \quad (2) Тогда:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\sigma_2 - \sigma_1 = \sigma \frac{b-a}{a + b} \\

&\sigma_1 + \sigma_2 = -\sigma

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\sigma_1 = -\sigma \frac{b}{a+b} \\

&\sigma_2 = -\sigma \frac{a}{a+b}

\end{aligned}

\end{cases}. b.

8.png

Плоскость p - эквипотенциал, если добавить ещё q на плоскость p , то \sigma_1 и \sigma_2 увеличатся в 2 раза. Если же перемещать q вдоль плоскости p , то \sigma_1 и \sigma_2 не изменятся. A = \Delta q_i \varphi = 0 , аналогично можно собрать \sigma из предыдущей задачи в 1 точку.

\sigma_1 = - \sigma \frac{b}{a+b}, \quad \sigma_2 = -\sigma \frac{a}{a+b}.

№ 6

Условие

Определить напряженность поля в точках и плотность зарядов на крайних пластинах.

9.png

Решение

10.png

Введём новые переменные:

\sigma_1 + \sigma_3 = 4\sigma, \quad \sigma_2 = \sigma. Найдём напряжённости поля в данных точках:

\begin{aligned}

&E_A = E + \frac{\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3}{2\varepsilon_0} = \frac{9\sigma}{2\varepsilon_0}, \\

&E_B = E + \frac{\sigma_3 + \sigma_2 - \sigma_1}{2\varepsilon_0}, \\

&E_C = E+ \frac{\sigma_3 - \sigma_2 - \sigma_1}{2\varepsilon_0}, \\

&E_D = E + \frac{-(\sigma_3 + \sigma_2 + \sigma_1)}{2\varepsilon_0} = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

\end{aligned} Поскольку потенциалы первой и третьей пластин одни, то:

E_Cd + E_B d = 0 \quad \Rightarrow \quad E_C + E_B = 0 \quad \Rightarrow \quad 2E + \frac{\sigma_3 - \sigma_1}{2\varepsilon_0} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sigma_3 - \sigma_1 = -4\sigma. Тогда:

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\sigma_1 + \sigma_3 = 4\sigma \\

&\sigma_3 - \sigma_1 = -4\sigma

\end{aligned}

\end{cases} \quad \Rightarrow \quad

\begin{cases}

\begin{aligned}

&\sigma_3 = 0 \\

&\sigma_1 = 4\sigma

\end{aligned}

\end{cases}. Можно было также найти \sigma_1 и \sigma_3 через работу.

Подставим плотности зарядов и найдём напряжённости в оставшихся точках:

\begin{aligned}

&E_B = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}, \\

&E_C = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

\end{aligned} 11.png

Теперь найдём распределение \sigma_1 , \sigma_2 и \sigma_3 по поверхностям проводника. Воспользуемся теоремой Гаусса:

\begin{aligned}

&\frac{\sigma_{11}S}{\varepsilon_0} = E_A S \quad \Rightarrow \quad \sigma_{11} = \frac{9}{2}\sigma, \\

&\frac{\sigma_{12}S}{\varepsilon_0} = -E_B S \quad \Rightarrow \quad \sigma_{11} = -\frac{1}{2}\sigma, \\

&\frac{\sigma_{21}S}{\varepsilon_0} = E_B S \quad \Rightarrow \quad \sigma_{21} = \frac{1}{2}\sigma, \\

&\frac{\sigma_{22}S}{\varepsilon_0} = -E_C S \quad \Rightarrow \quad \sigma_{22} = \frac{1}{2}\sigma, \\

&\frac{\sigma_{31}S}{\varepsilon_0} = E_C S \quad \Rightarrow \quad \sigma_{31} = -\frac{1}{2}\sigma, \\

&\frac{\sigma_{11}S}{\varepsilon_0} = -E_D S \quad \Rightarrow \quad \sigma_{11} = \frac{1}{2}\sigma.

\end{aligned} Также можно было найти распределение через суперпозицию ( E=0 внутри проводника) и через закон сохранения заряда.