Линейная, поверхностная, объёмная плотность заряда. Телесный угол. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля. Видео

Поток вектора напряженности электрического поля

Введем понятие потока вектора напряженности электрического поля \boldsymbol{\Phi} . Сначала определим, что поток вектора напряженности электрического поля через плоский участок поверхности площадью S такой, что во всех его точках вектор напряженности поля одинаков по величине и направлению и равен \vec{E} . У участка есть две стороны. К одной из них построим вектор нормали \vec{n} (длина вектора нормали равна единице). Введем вектор площади \vec{S}=S \vec{n} . Тогда поток равен скалярному произведению векторов \vec{E} и \vec{S} :

\Phi=(\vec{E},\vec{S}).

Пусть угол между векторами \vec{n} и \vec{E} равен \alpha . Тогда поток можно записать следующим образом:

\Phi=|\vec{E}| S \cos \alpha.

Поток - это скалярная величина, знак которой определяется произвольным выбором нормали. Если, ничего не меняя, внешнюю сторону поверхности переименовать и назвать внутренней, то поток тоже сменит знак. Раз напряженность измеряется в B/м, то он измеряется в В \cdot м.

В дальнейшем такую площадку мы будем называть элементарной.

Теперь определим поток Ф через произвольную ориентированную поверхность. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали. Если поверхность не замкнута, то можно выбрать произвольным образом, какую сторону мы будем считать внешней, а какую внутренней. Нормаль будем строить к внешней поверхности. (Примером односторонней и, следовательно, неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса).

Разобьём поверхность на множество маленьких участков, каждый из которых можно с достаточной точностью считать плоским, а поле \vec{E} в пределах каждого из них - постоянным по величине и направлению. Пусть поле через i -й участок равно \vec{E}_{i} , его площадь S_{i} , а угол между вектором нормали к участку \vec{n}_{i} и вектором \vec{E}_{i} равен \alpha_{i} . Тогда поток через этот участок равен

\Phi_{i}=\left|\vec{E}_{i}\right| S_{i} \cos \alpha_{i}.

А поток через всю поверхность определяется как сумма потоков через каждый участок поверхности:

\Phi=\sum \Phi_{i}.

Пример 1

Условие

Определим поток поля точечного заряда q через сферу радиуса R , в центре которой располагается заряд.

Решение

Модуль вектора напряжённости точечного заряда на поверхности сферы радиуса R равен:

E=\frac{k q}{R^{2}}.

Поскольку направление вектора напряжённости от точечного заряда радиальное, то угол между ним и нормалью положительно ориентированной элементарной площадки сферы равен 0^{\circ} . Соответственно получаем:

\Delta \Phi_{i}=E \Delta S_{i} \cos 0^{\circ}=E \Delta S_{i}.

Тогда

\Phi=\sum \Delta \Phi_{i}=E \sum \Delta S_{i}=E \cdot 4 \pi R^{2} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}.

Получаем поток вектора напряжённости, который не зависит от радиуса сферы.

Ответ \Phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}} .

В случае отрицательного заряда ответ не изменится.

Поток - величина аддитивная. Если у нас есть система зарядов, то поток общего поля через поверхность равен алгебраической сумме потоков поля каждого j -го заряда через эту поверхность:

\Phi=\sum \Phi_{j}.

Действительно, пусть поле j -го заряда в точках поверхности равно \vec{E}_{j} . Согласно принципу суперпозиции, общее поле равно

\vec{E}=\sum \vec{E}_{j}.

Тогда общий поток равен

\Phi=(\vec{E} \vec{S})=\left(\left(\sum \vec{E}_{j}\right) \vec{S}\right)=\sum\left(\vec{E}_{j} \vec{S}\right)=\sum \Phi_{j}.

Поскольку густота силовых линий пропорциональна величине поля, то поток пропорционален количеству силовых линий, пронизывающих площадку. Силовые линии, пронизывающие площадку в одном направлении, учитываются с плюсом, а в противоположном - с минусом. Например, нулевой поток через поверхность означает, что сколько линий пронизывает площадку в одном направлении, столько же пронизывает и в другом.

Найдём поток вектора напряжённости электрического поля точечного заряда q через плоскую поверхность, которую видно под малым телесным углом \Omega из точки, где расположен заряд.

\begin{gathered}

\Phi = ES\cos \alpha = \frac{kq}{r^2}(S\cos \alpha)=kq\frac{S_{\perp}}{r^2} \\

\Phi = kq\Omega

\end{gathered}

Он равен \Phi=k q \Omega .