Потенциал. Принцип суперпозиции потенциалов. Связь напряженности и разности потенциалов. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, выраженная через потенциалы

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, выраженная через потенциалы. Видео

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, выраженная через потенциалы

Энергию взаимодействия системы точечных зарядов q_{1}, \ldots, q_{N} , которую ранее мы выражали, суммируя по парам зарядов, можно переписать несколько в ином виде, чтобы было суммирование не по парам, а по зарядам:

U=\frac{1}{2} \sum\limits_{i} q_{i} \varphi_{i},

где \varphi_{i} - потенциал поля, созданного всеми остальными зарядами в точке, где находится заряд q_{i} .

Пример 2

Условие

Определите энергию взаимодействия трёх одинаковых точечных зарядов q , расположенных в вершинах равностороннего треугольника с длиной стороны l . Решение

\begin{aligned}

&\text{Способ 1. } u=\frac{1}{2}(q\varphi 3) = \frac{3}{2} q (\frac{kq}{l}+\frac{kq}{l})=\frac{3kq^2}{l}; \\

&\text{Способ 2. } A_1=q\varphi=q\cdot\frac{2kq}{l}=\frac{2kq^2}{l}; \quad A_2=q\frac{kq}{l} \\

& \rightarrow u=A_1+A_2=\frac{3kq^2}{l}.

\end{aligned}

Ответ u=\frac{3kq^2}{l} .

Пример 3

Условие

Определите энергию взаимодействия трёх точечных зарядов -q, q, 2 q , расположенных на одной прямой. Заряд q находится на равном расстоянии l от зарядов -q и 2 q .

Решение

\begin{aligned}

&\text{Способ 1. } u=\frac{1}{2}(-q(\frac{kq}{l}+\frac{2kq}{2l}))+q(\frac{-kq}{l}+\frac{2kq}{l})+2q(-\frac{kq}{2l}+\frac{kq}{l})=0; \\

&\text{Способ 2. } A_{1}=-q\left(\frac{k q}{l}+\frac{2 k q}{2 l}\right)=-\frac{2 k q^{2}}{l};\quad A_{2}=q \cdot k \frac{2q}{l}=\frac{2 k q^{2}}{l}; \\

& u=A_{1}+A_{2}=0.

\end{aligned}

Ответ 0 .

Пример 4

Условие

Рассчитайте энергию равномерно заряженной сферы, если ее заряд q , а радиус R .

Решение

Рассмотрим небольшой участок сферы, заряд которой \Delta q_i , то есть

\Delta q_i = \frac{q}{N},\ \ N\to \infty,\ \ \Delta q_i \to 0.

Все остальные заряды на сфере создают в центре сферы потенциал:

\varphi_0 = \frac{k(q-\Delta q_i)}{R}=\varphi_i.

Так как после удаления заряда \Delta q_i поле практически не меняется, потенциал в выделенной точке равен \varphi_0 . Подставим полученное выражение в формулу для энергии:

\begin{aligned} & u=\frac{1}{2} \sum_{i} \Delta q_{i} \varphi_{i}=\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{q}{N} \frac{k\left(q-\frac{q}{N}\right)}{R}; \\ & u=\frac{1}{2} N \cdot \frac{q}{N} \frac{k\left(q-\frac{q}{N}\right)}{R}=\frac{k q^{2}}{2 R}\left(1-\frac{1}{N}\right) \xrightarrow[N\rightarrow \infty]{} \frac{k q^{2}}{2 R}. \end{aligned}

Ответ u=\frac{k q^{2}}{2 R}.