Потенциал. Принцип суперпозиции потенциалов. Связь напряженности и разности потенциалов. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, выраженная через потенциалы

Часть 2. Видео

Часть 2

Свяжем разность потенциалов двух точек поля с напряженностью поля. Рассмотрим вначале две точки в области однородного поля \vec{E} , имеющие радиус-векторы \vec{r}_{1} и \vec{r}_{2} . Перенесем по произвольной траектории из первой точки во вторую пробный заряд q . Работа поля по переносу этого заряда, как мы знаем, равна

A_{12}=q\left(\vec{E}, \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right).

В таком случае разность потенциалов равна

\varphi_{1}-\varphi_{2}=\frac{A_{12}}{q}=\left(\vec{E}, \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)=\left(\vec{E}, \vec{r}_{12}\right),

где \vec{r}_{12} - вектор, проведенный из первой точки во вторую.

Так, разность потенциалов точек, расположенных на одной линии однородного силового поля на расстоянии r_{12} друг от друга, равна

\varphi_{1}-\varphi_{2}=E r_{12}.

Рассмотрим силовую линии в неоднородном поле. Выберем на ней две очень близкие точки на расстоянии r_{12} друг от друга, такие, что можно считать, что между этими точками поле почти однородно и равно E . Тогда, пользуясь полученной выше формулой, видим, что \varphi_{1}-\varphi_{2}=E r_{12}>0 , то есть \varphi_{1}>\varphi_{2} . Таким образом, вдоль силовой линии потенциал убывает.

В области, где поле отсутствует, потенциал одинаков во всех точках области. В области, где поле не равно нулю, разность потенциалов в двух точках равна нулю в случае, вектора если \vec{E} и \vec{r}_{12} перпендикулярны:

\varphi_{1}-\varphi_{2}=\left(\vec{E}, \vec{r}_{12}\right)=0.

Геометрическое место точек равного потенциала называется эквипотенциальной поверхностью. Эквипотенциальные поверхности в каждой своей точке перпендикулярны силовым линиям поля.

Эквипотенциальные поверхности в однородном электрическом поле имеют форму плоскостей, а в поле точечного заряда - сфер.

У потенциала есть еще одно свойство: график зависимости потенциала от координаты непрерывен. Потенциал не может меняться скачком. Действительно, рассмотрим две точки поля, расстояние между которыми ничтожно мало. Тогда и работа по переносу пробного заряда из одной точки в другую должна быть ничтожно мала, а значит, и потенциалы этих точек близки друг к другу.

Найдем распределение потенциала поля равномерно заряженной сферы. Пусть заряд сферы q , радиус R . Ранее, используя теорему Гаусса, мы получали, что поле внутри сферы отсутствует, а снаружи от сферы совпадает с полем точечного заряда q , помещенного в центр сферы. Если мы положим нулевой потенциал на бесконечности, тогда потенциал поля снаружи сферы будет совпадать с потенциалом точечного заряда: \varphi(r)=k \frac{q}{r} при r>R . Тогда на поверхности сферы потенциал равен \varphi(R)=k \frac{q}{R} . Поля внутри сферы нет, следовательно, потенциал любой точки внутри сферы равен потенциалу на ее поверхности: \varphi(r)=\varphi(R)=k \frac{q}{R} .

Приведем другой способ нахождения потенциала равномерно заряженной сферы. Рассмотрим две близкие точки на силовой линии (точки достаточно близки, чтобы считать, что они находятся в однородном поле). Тогда

\varphi_1-\varphi_2 = E_r\cdot \Delta r = \frac{kq}{r^2} \cdot \Delta r = kq \frac{\Delta r}{r^2} = - kq \Delta \left( \frac{1}{r} \right).

Отметим, что полученный результат верен для любых двух близких точек на силовой линии. Найдем разность потенциалов, используя принцип суперпозиции:

\varphi (r) - \varphi _\infty = \sum\limits_{}^{} -kq \Delta \left( \frac{1}{r} \right) = -kq \left( \frac{1}{\infty}-\frac{1}{r} \right) = \frac{kq}{r}.

Если мы выбираем нулевую точку на бесконечности ( \varphi _\infty=0 ), то

\varphi (x) = \frac{kq}{r}.