Сила Кулона. Электрическое поле.: Электростатика

№ 6

Условие

Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна E_{\perp}=\frac{\sigma \Omega}{4 \pi \varepsilon_{0}} , где \Omega - телесный угол, под которым виден этот участок из рассматриваемой точки пространства, \sigma - поверхностная плотность заряда. Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля:

a) \quad Равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда \sigma плоскости;

b) \quad В центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда \sigma , а одна грань не заряжена;

c) \quad В центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью \sigma_{1} , а четвертая - с \sigma_{2} ;

d) \quad На оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} ;

Доказательство

7.png

Разделим плоскость на большое количество маленьких площадей величиной dS , тогда напряжённость, создаваемая ими будет:

dE_{\perp} = \frac{k\sigma dS \cos \alpha_i}{r_i^2}. Очевидно, что перпендикулярная составляющая площади к вектору напряжённости dE_{\perp} будет:

dS_{\perp} = \cos \alpha_i \cdot dS, а поскольку телесный угол:

d\Omega = \frac{dS_{\perp}}{r_i^2}, то напряжённость малой площадки будет:

dE_{\perp} = k\sigma d\Omega \quad \Rightarrow \quad E_{\perp} = \frac{\sigma \Omega}{4\pi \varepsilon_0}. Решение

a) \quad Плоскость:

Поскольку телесный угол:

\Omega = \frac{4\pi}{2}=2\pi, то напряжённость:

E_{\perp}=E=\frac{\sigma 2\pi}{4\pi \varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}. b) \quad Куб:

2.11 Напряжённость противоположных граней в центре куба в сумме будет давать ноль, поэтому напряжённость в центре будет обусловлена гранью, противоположной грани, неимеющей заряд.

E=\frac{\sigma\frac{4\pi}{6}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{6\varepsilon_0}, где телесный угол \Omega = \frac{4\pi}{6} .

c) \quad Тетраэдр:

8.png

Если все грани заряжены одинаково, то суммарная напряжённость электрического поля в центре тетраэдра будет равно нулю, следовательно, общая напряжённость от трёх граней будет направлена перпендикулярно четвёртой:

E=E_1-E_2= \frac{(\sigma_1-\sigma_2)\cdot \frac{4\pi}{4}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{4\varepsilon_0}, где телесный угол \Omega=\frac{4\pi}{4}=\pi .

d) \quad Труба:

9.png

Найдём напряжённость в центре трубы, создаваемую каждой из её сторон, с учётом того, что телесный угол для каждой из них \Omega = \frac{4\pi}{3} :

\begin{aligned}

&E_1=\frac{\sigma_1}{3\varepsilon_0} \\

&E_2=\frac{\sigma_2}{3\varepsilon_0} \\

&E_3=\frac{\sigma_3}{3\varepsilon_0}

\end{aligned}. Теперь найдём проекции суммарной напряжённости на Ox и Oy :

\begin{aligned}

&E_x=\frac{1}{3\varepsilon_0}\cdot \left( \sigma_1\frac{\sqrt{3}}{2}-\sigma_2\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\

&E_y=\frac{1}{3\varepsilon_0} \left( \sigma_3 - \frac{1}{2} \cdot (\sigma_1+\sigma_2)\right)

\end{aligned}. Тогда общая напряжённость электрического поля в центре трубы будет:

E=\sqrt{E_x^2+E_y^2} = \frac{1}{3\varepsilon_0} \cdot \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \sigma_1\sigma_2 - \sigma_1\sigma_3 - \sigma_2\sigma_3}. № 7

Условие

a) \quad Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен Q. Сделали точно такое же новое кольцо, но из материала, прочность которого в 10 раз больше. Какой заряд разорвет новое кольцо?

b) \quad Какой заряд разорвет новое кольцо, сделанное из прежнего материала, если все размеры нового кольца в три раза больше размеров старого?

Решение

10.png

a) \quad Разделим кольцо на малые части с зарядом dq и напишем для него закон Ньютона:

2T\sin \frac{\alpha}{2}=\sum\limits_i F_{ki}. Поскольку суммарная напряжённость электрического поля в точке, где находится заряд dq будет:

|\sum\limits_i\vec{E_i}| \sim \frac{Q}{r^2}, то суммарная Кулоновская сила, действующая на данный элемент будет:

\sum\limits_iF_{ki}=dq |\sum\limits_i\vec{E_i}| = \frac{Q}{2\pi} \cdot \alpha \cdot |\sum\limits_i\vec{E_i}|. Поскольку \alpha \rightarrow 0 , то \sin \alpha \approx \alpha . Тогда с учётом этого:

\alpha \cdot T = \frac{Q}{2\pi} \cdot \alpha \cdot |\sum\limits_i\vec{E_i}|\quad \Rightarrow \quad T \sim \frac{Q^2}{r^2}. Тогда заряд, который разорвёт новое кольцо будет:

q=\sqrt{10}Q. b) \quad Введём понятие механического напряжения:

\sigma=\frac{F}{S}, тогда:

\begin{aligned}

&S \rightarrow 9S \\

&R \rightarrow 3R

\end{aligned}. Воспользуемся методом размерностей:

F_k \sim \frac{Q^2}{r^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{Q^2}{R^2S}=\frac{q_x^2}{(3R)^2\cdot9S} \quad \Rightarrow \quad q_x=9Q.