Сила Кулона. Электрическое поле.: Электростатика

№ 4

Условие

Чему равна напряженность электрического поля в центре равномерно заряженного тонкого кольца радиуса R ? Чему она равна на оси кольца на расстоянии h от центра? Заряд кольца Q .

5.png

Решение

Разделим наше кольцо на много маленьких частей, заряды которых равны \Delta q_i . Тогда напряжённость электрического поля, образованного кольцом, в центре будет равно нулю, поскольку суперпозиция двух диаметрально противоположных частей с зарядами \Delta q_i будет равна нулю.

6.png

Найдём напряжённость электрического поля на высоте h от центра кольца:

E=\sum\limits_i E_{iy}=\sum\limits_{i} \frac{k\Delta q_i}{r_i^2} \cdot \cos \alpha. Поскольку

\cos \alpha = \frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}} \quad и \quad r_i=\sqrt{h^2+R^2}, то

E=\sum\limits_i \frac{k\Delta q_i h}{\left( h^2+R^2 \right)^{3/2}} = \frac{kQh}{\left( h^2+R^2 \right)^{3/2}}. № 5

Условие

Чему равна напряженность электрического поля равномерно заряженной нити длины l на прямой, которая является продолжением нити, на расстоянии x от ближайшего его конца? Заряд единицы длины нити \tau .

Решение

Разобьём нить на много маленьких частей длинной dy , тогда их заряд будет dq = \tau dy .

2.9 Очевидно, что напряжённость в точке, находящейся на расстоянии x от конца нити, получается в ходе суперпозиции всех частей длинной dy . Тогда:

dE = \frac{kdq}{y^2} = k\tau \cdot \frac{dy}{y^2} Проинтегрировав данное выражение по всей длине нити, мы получим суммарную напряжённость в данной точке:

E=k\tau \cdot \int\limits_{x}^{l+x} \frac{dy}{y^2} = \frac{k\tau l}{x(x+l)}.