Электрическое поле. Нахождение полей. Принцип суперпозиции.: Электростатика

№ 9

Условие

Однородно заряженный по объему куб создает в своей вершине A электрическое поле напряженностью E_{0} . Из куба удаляют кубик вдвое меньшего линейного размера (рис.). Чему станет равна напряженность E_{A} в той же точке A ?

13.png

Решение

По принципу суперпозиции, поле \vec{E}_{0} в вершине целого куба можно представить как векторную сумму искомого поля \vec{E}_{A} куба с вырезом и поля \vec{E}_{0}^{\prime} , создаваемого вырезанной частью (кубом вдвое меньшего линейного размера) в этой точке: E_{0}=\vec{E}_{A}+\vec{E}_{0}^{\prime} , или

\vec{E}_A = \vec{E}_0 - \vec{E_0'}. \quad (1) 14.png

Из соображений симметрии очевидно, что все три вектора, входящие в формулу (1), направлены одинаково и отличаются только по модулю.

Свяжем напряженность поля \vec{E}_{0}^{\prime} , создаваемого кубом меньшего размера в своей вершине, с известной нам напряженностью \vec{E}_{0} с помощью соображений подобия.

Выясним, как зависит модуль напряженности в произвольно выбранной точке куба от линейного размера куба при неизменной объемной плотности заряда \rho . Мысленно разобъем куб на очень большое число N элементарных кубических ячеек. Тогда, по принципу суперпозиции, поле куба \bar{E} в выбранной точке есть векторная сумма полей \vec{E}_{t} всех ячеек в этой точке:

\vec{E}=\sum_{i=1}^{N} \vec{E}_{i}. Пусть размер каждой ячейки \Delta l , расстояние от i -й ячейки до точки наблюдения r_{1} (рис.). Тогда заряд ячейки равен \rho(\Delta l)^{3} , а модуль напряженности, создаваемой этой ячейкой в точке наблюдения, равен

E_{i}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\rho(\Delta l)^{3}}{r_{l}^{2}}. \quad (2) Теперь изменим линейный размер куба в \alpha раз, сохранив неизменной объемную плотность заряда \rho . Размер каждой ячейки и расстояния от ячеек до точки наблюдения (подобной прежней точке куба) тогда тоже изменятся в \alpha раз, поэтому вклад в напряженность от \boldsymbol{i} -й ячейки станет равным

E_{i}^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\rho(\alpha \Delta l)^{3}}{\left(\alpha r_{i}\right)^{2}}=\alpha E_{l}, т.е. изменится в \alpha раз. А так как направления всех векторов-слагаемых \vec{E}_{i}^{\prime} совпадают с направлениями соответствующих им векторов \vec{E}_{i} , то и результат - напряженность поля в точке нового куба, подобной точке исходного куба - изменится в \alpha раз: \vec{E}^{\prime}=\alpha \vec{E} . Это рассуждение применимо к любой точке куба, в частности, к его вершине A .

Итак, мы показали, что куб вдвое меньшего линейного размера (коэффициент подобия \alpha=1 / 2 ) в своей вершине A создает поле напряженностью

\vec{E}_{0}^{\prime}=\frac{\vec{E}_{0}}{2}, поэтому, согласно формуле (1),

\vec{E}_{A}=\vec{E}_{0}-\frac{\vec{E}_{0}}{2}=\frac{\vec{E}_{0}}{2} . Напряженность уменьшилась в 2 раза, хотя удалили всего 1/8 часть заряда. Такой результат объясняется тем, что удаленные элементы заряда находились близко к точке A .

№ 10

Условие

Равномерно заряженную полусферу разрезали на две части так, как показано на рисунке (по линии \left.a a^{\prime}\right) , и эти части разнесли на большое расстояние. В какой точке напряженность электрического поля больше - в точке A^{\prime} или в точке A^{\prime \prime} ?

15.png

Решение

Для определенности предположим, что заряд полусферы положительный. Из симметрии ясно, что сферический сегмент в точке A^{\prime} создает электрическое поле напряженностью \vec{E}_{1} , направленной вправо, вдоль оси симметрии, а сферический слой в точке A^{\prime \prime} создает поле напряженностью \vec{E}_{2} , направленной влево (рис. 2).

Дополним мысленно сферический слой равномерно заряженной полусферой (рис. 3). Тогда поле в точке A^{\prime \prime} увеличится: E_{3}>E_{2} . Но E_{3}=E_{1} , поскольку напряженность поля в любой точке внутри равномерно заряженной сферы равна нулю.

Итак, E_{1}>E_{2} .

19 (2)

F=\frac{Q^{2}}{32 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon R^{2}}\left(1-\frac{h^{2}}{R^{2}}\right).