Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 2): Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 6: Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 2)

Рассматривается серия задач, в каждой из которых фигурирует кольцо из проводящего материала. Обозначения, общие для всех задач: r — радиус кольца, \rho — удельное электрическое сопротивление, S — площадь поперечного сечения проволоки, \rho_m — плотность материала. Внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости кольца и нарастает по закону B(t) = \frac{B_0\, t}{\tau}.

Задача 1. Выделение теплоты в проводящем кольце

Условие. Кольцо радиуса r из материала с удельным сопротивлением \rho закреплено. Самоиндукцией кольца можно пренебречь. Магнитное поле нарастает от 0 до B_0 за время \tau . Найти количество теплоты, выделившееся в кольце.

Решение.

Магнитный поток через кольцо: \Phi(t) = \frac{B_0\, t}{\tau}\cdot \pi r^2.

ЭДС электромагнитной индукции (по модулю): \mathcal{E} = \frac{d\Phi}{dt} = \frac{B_0\,\pi r^2}{\tau}.

Сопротивление кольца: R = \frac{2\pi r\,\rho}{S}.

Мощность, рассеиваемая в кольце: P = \mathcal{E}^2 / R . Теплота за время \tau : Q = \frac{\mathcal{E}^2}{R}\,\tau

= \frac{\left(\dfrac{B_0\,\pi r^2}{\tau}\right)^2}{\dfrac{2\pi r\,\rho}{S}}\cdot\tau.

После сокращений:

Ответ: \boxed{Q = \frac{\pi\, B_0^2\, r^3\, S}{2\,\rho\,\tau}.}

Задача 2. Угловая скорость заряженного диэлектрического кольца

Условие. По кольцу радиуса r и массой m , равномерно заряженному полным зарядом Q , нанесён изолирующий материал (кольцо — диэлектрик). Кольцо свободно лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Магнитное поле нарастает по прежнему закону B = B_0 t/\tau в течение времени от 0 до \tau , затем остаётся постоянным. Найти угловую скорость кольца после завершения нарастания поля (начальная угловая скорость равна нулю).

Решение.

Из закона электромагнитной индукции находим электрическое поле, действующее вдоль кольца: E = \frac{1}{2\pi r}\,\frac{d\Phi}{dt} = \frac{1}{2\pi r}\cdot\frac{B_0\,\pi r^2}{\tau}

= \frac{B_0\, r}{2\tau}.

Момент сил, действующий на заряженное кольцо: M = Q\,E\,r = Q\cdot\frac{B_0\,r}{2\tau}\cdot r = \frac{Q\,B_0\,r^2}{2\tau}.

Момент количества движения, приобретённый за время \tau : L_мех = M\cdot\tau = \frac{Q\,B_0\,r^2}{2}.

Момент инерции кольца: I = mr^2 . Из I\,\omega = L_мех :

Ответ: \boxed{\omega = \frac{Q\,B_0}{2\,m\,r}.}

Задача 3. Деформация гибкого сверхпроводящего кольца во внешнем поле

Условие. Гибкое сверхпроводящее кольцо радиуса r , массой m , вращается с угловой скоростью \omega . Включается однородное магнитное поле B , перпендикулярное плоскости кольца. При каком значении B кольцо начнёт сжиматься (натяжение проволоки обратится в нуль)?

Решение.

Поскольку кольцо сверхпроводящее, суммарный магнитный поток через него сохраняется и равен нулю (начальное значение). Возникающий в кольце ток компенсирует внешний поток: L\,I + \pi r^2\,B = 0 \implies I = \frac{\pi r^2\,B}{L}, где L — индуктивность кольца.

Выделим малый участок проволоки, стягивающий угол \varphi \ll 1 . Его длина \ell = r\varphi , масса \Delta m = \frac{m}{2\pi}\,\varphi . Сила Ампера, направленная к центру кольца: F_A = \ell\,I\,B = r\varphi\cdot\frac{\pi r^2 B}{L}\cdot B = \frac{\pi r^3\varphi\,B^2}{L}.

Центростремительная сила, необходимая для вращения этого участка: F_цс = \Delta m\cdot\omega^2 r = \frac{m}{2\pi}\,\varphi\cdot\omega^2 r.

Кольцо начинает сжиматься, когда F_A = F_цс (натяжение обращается в нуль). Сокращая \varphi и r : \frac{\pi r^2 B^2}{L} = \frac{m\,\omega^2}{2\pi}.

Отсюда:

Ответ: \boxed{B = \omega\sqrt{\frac{m\,L}{2\pi^2 r^2}},} где индуктивность кольца L = \mu_0\,r\!\left(\ln\frac{8r}{R_пр} - \frac{7}{4}\right), R_пр — радиус поперечного сечения проволоки.