Олимпиадные задачи на ЭМИ и переходные процессы: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 3: Олимпиадные задачи на ЭМИ и переходные процессы

Введение

Рассматриваются задачи, в которых меняющийся ток в проводниках создаёт магнитное поле и, как следствие, возникает ЭДС электромагнитной индукции.

Переходные процессы в цепи с индуктивностью

Задача 1. В цепи имеется батарейка с ЭДС \mathcal{E} , ключ (изначально разомкнут), резистор R , катушка индуктивности L и амперметр. Как меняется ток после замыкания ключа?

Решение.

Магнитный поток через катушку \Phi = LI , поэтому противо-ЭДС катушки: \mathcal{E}_L = -\frac{d\Phi}{dt} = -L\dot{I}. По закону Ома для замкнутого контура (с двумя ЭДС): IR = \mathcal{E} - L\dot{I}. Перегруппировав, получаем дифференциальное уравнение: \dot{I} + \frac{R}{L}\,I = \frac{\mathcal{E}}{L}. Стационарное решение (при \dot{I}=0 ): I_\infty = \frac{\mathcal{E}}{R}. Представим ток в виде I(t) = I_\infty + I_{var}(t) . Переменная составляющая удовлетворяет однородному уравнению: \dot{I}_{var} + \frac{R}{L}\,I_{var} = 0, решение которого I_{var} = A e^{\lambda t} . Подстановка даёт \lambda = -R/L . Из начального условия I(0)=0 находим A = -\mathcal{E}/R .

Ответ: \boxed{I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\!\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right).}

Задача 2. Цепь: батарейка с ЭДС \mathcal{E} , резистор R , ключ, катушка индуктивности L и баллистический гальванометр (измеритель заряда). Ключ длительное время замкнут, затем размыкается. Каков заряд, зарегистрированный гальванометром?

Решение.

До размыкания через катушку течёт установившийся ток: I_0 = \frac{\mathcal{E}}{R}. После размыкания ключа катушка поддерживает ток в контуре «катушка — резистор — гальванометр». Уравнение контура: \dot{I} + \frac{R}{L}\,I = 0, \quad I(0) = I_0, откуда I(t) = I_0 e^{-Rt/L} .

Заряд через гальванометр: Q = \int_0^{\infty} I(t)\,dt. Проинтегрируем исходное уравнение от 0 до \infty : \bigl[I\bigr]_0^{\infty} + \frac{R}{L}\int_0^{\infty} I\,dt = 0

\implies (0 - I_0) + \frac{R}{L}\,Q = 0.

Поскольку ток при размыкании течёт в направлении, при котором положительные носители входят в клемму «минус» гальванометра, показание отрицательно.

Ответ: \boxed{Q = -\frac{I_0 L}{R} = -\frac{\mathcal{E} L}{R^2}.}

Важное следствие. Заряд, протекающий через контур при изменении магнитного потока, равен: Q = \frac{\Delta\Phi}{R_{конт}}, где R_{конт} — сопротивление контура, в который включён измеритель.

Задача 3. В цепи с батарейкой ЭДС \mathcal{E} , резистором R_1 , катушкой L и ключом (изначально разомкнут) последовательно включён баллистический гальванометр через резистор R_2 . Ключ замыкают. Какой заряд зарегистрирует гальванометр?

Решение.

После замыкания ключа ток через катушку нарастает до значения I_\infty = \mathcal{E}/R_1 (сопротивление катушки равно нулю). Итоговый магнитный поток: \Phi_\infty = L\,I_\infty = \frac{\mathcal{E}\,L}{R_1}. Изменение потока \Delta\Phi = \Phi_\infty - 0 = \mathcal{E} L / R_1 . По формуле для баллистического гальванометра, включённого в контур с сопротивлением R_2 :

Ответ: \boxed{Q = \frac{\Delta\Phi}{R_2} = \frac{\mathcal{E}\,L}{R_1 R_2}.}