Электромагнитные волны (эксперимент Фейнмана): Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 6: Электромагнитные волны (эксперимент Фейнмана)

Цель и постановка мысленного эксперимента

Мысленный эксперимент, предложенный Ричардом Фейнманом, демонстрирует на основе уравнений электромагнитного поля, что электромагнитное поле способно существовать в отсутствие электрических зарядов: оно отрывается от источника, поддерживает себя само, переносит энергию и импульс. В ходе эксперимента также выводится вектор, указывающий направление переноса энергии электромагнитного поля.

Описание объекта и начальных условий

Рассматривается пластина, составленная из двух взаимно проникающих подсистем зарядов с бесконечно большими и одинаковыми концентрациями: положительных зарядов +e с концентрацией n и отрицательных зарядов -e с той же концентрацией n . Толщина пластины равна d (мала по сравнению с поперечными размерами). Введём систему координат: ось x — вправо, ось y — за плоскость рисунка, ось z — вверх.

В начальный момент все заряды покоятся; суммарное электрическое поле как внутри, так и снаружи пластины равно нулю. Затем все положительные заряды мгновенно приобретают скорость \mathbf{v} = v\,\hat{z} (вверх), тогда как отрицательные остаются на месте.

Возникновение электрического и магнитного полей

Движущиеся положительные заряды создают вне пластины электрическое поле, перпендикулярное её плоскости. Поверхностная плотность заряда равна \sigma = n\,e\,d , поэтому поле одной подсистемы (только «плюсов») по каждую сторону пластины: E_{+} = \frac{n\,e\,d}{2\varepsilon_0}. Отрицательные заряды скомпенсировали бы поле E_{+} , если бы тоже двигались; поскольку они стоят на месте, суммарного электрического поля вне пластины не возникает, но именно поле E_{+} участвует в генерации магнитного поля.

Поскольку плюс-заряды движутся, в области, куда уже «прибежала» информация о начале движения (со скоростью c ), появляется магнитное поле: \mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\,\mathbf{v} \times \mathbf{E}_{+}. По величине: B = \frac{n\,e\,d\,v}{2\varepsilon_0\,c^2}. Справа от пластины ( x > 0 ) вектор \mathbf{B} направлен за плоскость рисунка (вдоль -\hat{y} ), слева — в противоположную сторону ( +\hat{y} ). Граница существования поля распространяется от пластины со скоростью света c в обе стороны по оси x .

Вывод электрического поля из закона электромагнитной индукции

Выберем прямоугольный контур в плоскости рисунка так, чтобы один его продольный участок длиной L находился в области, где поле уже возникло, а другой — в области, где поле ещё не появилось. Граница поля за время \tau смещается на расстояние c\tau .

Магнитный поток через поверхность, натянутую на контур: \Phi_B = B \cdot L \cdot c\tau. По закону Фарадея: \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -B\,L\,c. Единственный вклад в циркуляцию \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} даёт участок внутри поля: E \cdot L = -B\,L\,c \quad \Longrightarrow \quad \boxed{E = -B\,c.} Знак минус означает, что электрическое поле направлено вниз (против \hat{z} ), то есть противоположно скорости положительных зарядов. Поле одинаково по величине во всей освещённой области.

Силы и совершаемая работа

На движущиеся положительные заряды действует сила магнитной составляющей силы Лоренца \mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} , направленная вправо (вдоль +\hat{x} ). Реакция зарядов на поле — по третьему закону Ньютона — «толкает» электромагнитное поле в том же направлении. Одновременно на те же заряды, движущиеся вверх, действует электрическая сила, направленная вниз ( qE , тормозящая), которую компенсирует внешняя сила, поддерживающая скорость v .

Мощность, развиваемая внешней силой на площади S (только для половины толщины пластины, создающей поле с одной стороны): P = \frac{d}{2}\cdot n\cdot e\cdot S \cdot E \cdot v. Подставляя E = Bc и учитывая, что H = \dfrac{B}{\mu_0} , а \mu_0\varepsilon_0 c^2 = 1 : P = S\cdot E\cdot H. Эта мощность целиком уходит в энергию электромагнитного поля, которое заполняет расширяющуюся область пространства.