Энергия электромагнитного поля: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 5: Энергия электромагнитного поля

1. Взаимодействие магнитных полюсов. Аналог закона Кулона

Рассмотрим два длинных соленоида, у каждого из которых длина много больше диаметра: L_1 \gg D_1,\quad \frac{L_1}{N_1} \ll D_1;\qquad

L_2 \gg D_2,\quad \frac{L_2}{N_2} \ll D_2. По первому соленоиду течёт ток I_1 , по второму — I_2 . Северные полюса обращены друг к другу, южные удалены настолько, что их влиянием можно пренебречь: r + L_1 \gg r и r + L_2 \gg r , где r — расстояние между полюсами.

Аналогия с электростатикой

Введём магнитный заряд по аналогии с электрическим. Теорема Гаусса для электрического и магнитного случаев: q_e = \oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S},\qquad

q_m = \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.

Сила Лоренца для электрического заряда: \mathbf{F}_e = q_e\left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).

Аналогичная сила для магнитного заряда: \mathbf{F}_m = q_m\,\mathbf{H} - q_m\,\mathbf{v}\times\mathbf{D}.

Связь между индукцией и напряжённостью (в однородной изотропной среде): \mathbf{D} = \varepsilon\varepsilon_0\,\mathbf{E},\qquad

\mathbf{B} = \mu\mu_0\,\mathbf{H}.

Приближённые преобразования полей при переходе в систему отсчёта 2, движущуюся со скоростью \mathbf{u} относительно системы 1 (при u \ll c ): \mathbf{B}_2 \approx \mathbf{B}_1 + \frac{1}{c^2}\,\mathbf{u}\times\mathbf{E}_1,\qquad

\mathbf{E}_2 \approx \mathbf{E}_1 - \frac{1}{c^2}\,\mathbf{u}\times\mathbf{H}_1. Знаки в обоих выражениях противоположны.

Магнитный заряд соленоида и сила взаимодействия

Площадь поперечного сечения соленоида: S = \frac{\pi D^2}{4}.

Магнитный заряд северного полюса второго соленоида (поток индукции, выходящий из торца): q_{m2} = S_2\cdot B_2 = S_2\,\mu_0 I_2\,\frac{N_2}{L_2}.

Напряжённость магнитного поля, создаваемого зарядом первого соленоида в точке расположения второго (на расстоянии R ): \mathbf{H}_{12} = \frac{q_{m1}}{4\pi}\,\frac{\hat{\mathbf{R}}_{12}}{R^2},\qquad

q_{m1} = S_1\,\mu_0 I_1\,\frac{N_1}{L_1}.

Сила взаимодействия северных полюсов (закон Кулона для магнитных зарядов): \mathbf{F} = q_{m2}\,\mathbf{H}_{12}

= \frac{q_{m1}\,q_{m2}}{4\pi}\,\frac{\hat{\mathbf{R}}_{12}}{R^2}.

Таким образом, для магнитных зарядов справедлив тот же закон Кулона, что и для электрических. Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать взаимодействие сложных систем магнитов, используя представление о магнитных зарядах (реально не существующих, однако удобных для расчётов). При этом суммарный поток вектора \mathbf{B} через любую замкнутую поверхность равен нулю.