Энергия электромагнитного поля

2. Определение ампера и электрическая постоянная Определение ампера в СИ : два параллельных бесконечно длинных прямолинейных провода, расположенных на расстоянии $r = 1\,м$ друг от друга, по которым текут токи $I_1 = I_2 = 1\,А$, взаимодействуют с силой $$ \frac{F_0}{\ell} = 2\times 10^{-7}\,Н/м. $$ Вывод постоянной $k$ через определение ампера Ток представлен движением положительных носителей заряда со скоростью $v$; линейная плотность заряда $\sigma$: $$ I = \sigma v. $$ Напряжённость электрического поля провода на расстоянии $r$ (теорема Гаусса): $$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r}. $$ Индукция магнитного поля, создаваемого первым проводом в точке расположения второго: $$ B = \frac{v\,E}{c^2} = \frac{\sigma\,v}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r\,c^2} = \frac{I}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r\,c^2}. $$ Сила Ампера на участок длиной $\ell = 1\,м$ второго провода: $$ F = I\,\ell\,B = \frac{I^2\,\ell}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r\,c^2}. $$ Умножая числитель и знаменатель на 2: $$ F = \frac{I^2\,\ell}{4\pi\varepsilon_0\,c^2\,r}\cdot 2 = \frac{2k\,I^2\,\ell}{c^2\,r}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}. $$ Подставляя $F = F_0 = 2\times 10^{-7}\,Н$, $I = 1\,А$, $\ell = r = 1\,м$: $$ k = \frac{F_0\,c^2}{2\,I^2} = 10^{-7}\times\left(3\times 10^8\right)^2 = 10^{-7}\times 9\times 10^{16} = 9\times 10^9\,\frac{Н\cdotм^2}{Кл^2}. $$ Таким образом, из определения единицы тока следует числовое значение электрической постоянной $k$. 3. Граничные условия на поверхности раздела Рассмотрим границу раздела с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. 3.1 Электрическое поле Тангенциальная составляющая. Из условия нулевой циркуляции $\mathbf{E}$ по контуру, вытянутому вдоль поверхности (площадь контура $\to 0$, поэтому $d\Phi_B/dt \to 0$): $$ \boxed{E_{\tau,лев} = E_{\tau,пр}}. $$ Нормальная составляющая. Из теоремы Гаусса для цилиндрической поверхности, охватывающей участок площадью $S$: $$ \boxed{E_{\perp,пр} - E_{\perp,лев} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}}. $$ 3.2 Давление электрического поля и плотность энергии Поле зарядов самой пластины: $$ E_пл = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}. $$ Внешнее (нормальное) поле: $$ E_{\perp,внеш} = \frac{E_{\perp,лев} + E_{\perp,пр}}{2}. $$ Нормальная составляющая силы, действующей на участок площадью $S$: $$ F_\perp = \frac{\varepsilon_0}{2} \left(E_{\perp,пр}^2 - E_{\perp,лев}^2\right) S = \left(P_{E,пр} - P_{E,лев}\right) S, $$ где давление электрического поля : $$ P_E = -\frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = -\frac{\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}}{2}. $$ Знак «минус» означает: давление электрического поля равно взятой со знаком минус плотности энергии электрического поля.