Энергия электромагнитного поля: Часть 2

Видео

Конспект

2. Определение ампера и электрическая постоянная

Определение ампера в СИ: два параллельных бесконечно длинных прямолинейных провода, расположенных на расстоянии $r = 1\,м$ друг от друга, по которым текут токи $I_1 = I_2 = 1\,А$, взаимодействуют с силой $$

\frac{F_0}{\ell} = 2\times 10^{-7}\,Н/м.

$$

Вывод постоянной $k$ через определение ампера

Ток представлен движением положительных носителей заряда со скоростью $v$; линейная плотность заряда $\sigma$: $$

I = \sigma v.

$$

Напряжённость электрического поля провода на расстоянии $r$ (теорема Гаусса): $$

E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r}.

$$

Индукция магнитного поля, создаваемого первым проводом в точке расположения второго: $$

B = \frac{v\,E}{c^2} = \frac{\sigma\,v}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r\,c^2} = \frac{I}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r\,c^2}.

$$

Сила Ампера на участок длиной $\ell = 1\,м$ второго провода: $$

F = I\,\ell\,B = \frac{I^2\,\ell}{\varepsilon_0\cdot 2\pi r\,c^2}.

$$

Умножая числитель и знаменатель на 2: $$

F = \frac{I^2\,\ell}{4\pi\varepsilon_0\,c^2\,r}\cdot 2 = \frac{2k\,I^2\,\ell}{c^2\,r},

\qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

$$

Подставляя $F = F_0 = 2\times 10^{-7}\,Н$, $I = 1\,А$, $\ell = r = 1\,м$: $$

k = \frac{F_0\,c^2}{2\,I^2} = 10^{-7}\times\left(3\times 10^8\right)^2

= 10^{-7}\times 9\times 10^{16} = 9\times 10^9\,\frac{Н\cdotм^2}{Кл^2}.

$$

Таким образом, из определения единицы тока следует числовое значение электрической постоянной $k$.

3. Граничные условия на поверхности раздела

Рассмотрим границу раздела с поверхностной плотностью заряда $\sigma$.

3.1 Электрическое поле

Тангенциальная составляющая. Из условия нулевой циркуляции $\mathbf{E}$ по контуру, вытянутому вдоль поверхности (площадь контура $\to 0$, поэтому $d\Phi_B/dt \to 0$): $$

\boxed{E_{\tau,лев} = E_{\tau,пр}}.

$$

Нормальная составляющая. Из теоремы Гаусса для цилиндрической поверхности, охватывающей участок площадью $S$: $$

\boxed{E_{\perp,пр} - E_{\perp,лев} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}}.

$$

3.2 Давление электрического поля и плотность энергии

Поле зарядов самой пластины: $$

E_пл = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

$$ Внешнее (нормальное) поле: $$

E_{\perp,внеш} = \frac{E_{\perp,лев} + E_{\perp,пр}}{2}.

$$

Нормальная составляющая силы, действующей на участок площадью $S$: $$

F_\perp = \frac{\varepsilon_0}{2}

\left(E_{\perp,пр}^2 - E_{\perp,лев}^2\right) S

= \left(P_{E,пр} - P_{E,лев}\right) S,

$$ где давление электрического поля: $$

P_E = -\frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = -\frac{\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}}{2}.

$$

Знак «минус» означает: давление электрического поля равно взятой со знаком минус плотности энергии электрического поля.