ЭМИ, вихревое поле, сила Ампера: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 2: ЭМИ, вихревое поле, сила Ампера

Задача 3. Торможение перемычки на направляющих

Условие. По двум параллельным направляющим, соединённым резистором сопротивления R , скользит проводящая перемычка массы m и длины L . Трение и электрическое сопротивление направляющих и перемычки равны нулю. Везде действует однородное магнитное поле B , направленное перпендикулярно плоскости направляющих. В начальный момент перемычке сообщена скорость v_0 . Найти расстояние x , которое пройдёт перемычка до полной остановки.

Решение.

Пусть в момент времени t координата перемычки равна x(t) , а её скорость \dot{x} . Магнитный поток через контур (резистор — направляющие — перемычка): \Phi = B L x.

ЭДС электромагнитной индукции: \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -BL\dot{x}.

Ток в цепи по закону Ома: I = \frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{BL\dot{x}}{R}.

Сила Ампера, действующая на перемычку (направлена против скорости): F = ILB = -\frac{B^2 L^2}{R}\,\dot{x}.

Второй закон Ньютона: m\ddot{x} = -\frac{B^2 L^2}{R}\,\dot{x}.

Обозначим \lambda = \dfrac{B^2 L^2}{mR} . Тогда \ddot{x} = -\lambda\dot{x} , откуда: \dot{x}(t) = v_0\,e^{-\lambda t}.

Расстояние до остановки: x = \int_0^{\infty} v_0\,e^{-\lambda t}\,dt = \frac{v_0}{\lambda}.

Ответ: \boxed{x = \frac{v_0 m R}{B^2 L^2}.}

Расстояние пропорционально начальной скорости и массе перемычки и обратно пропорционально квадрату BL .

Задача 4. Импульс витка при включении тока в длинном проводе

Условие. В пространстве (гравитация и сопротивление воздуха отсутствуют) вблизи длинного прямого провода расположена квадратная рамка из провода диаметром D . До включения ток в проводе равен нулю. После включения ток стал равным I и остался постоянным. Рамка приобрела импульс P .

Два варианта: (1) ток I , диаметр провода D ; (2) ток 3I , диаметр провода 2D . Определить направление и относительную величину импульса в каждом случае.

Решение.

Когда ток включается, магнитный поток через рамку изменяется от нуля до \Phi . Изменение потока \Delta\Phi > 0 (поле провода пронизывает рамку в одном направлении). Возникающая ЭДС индукции: \mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}, создаёт в рамке индукционный ток I_рам = \mathcal{E}/R_рам , направление которого — против нарастания потока (правило Ленца).

Сопротивление рамки пропорционально длине провода (фиксирована) и обратно пропорционально площади сечения \sim D^2 : R_рам \propto \frac{1}{D^2}.

Импульс, полученный рамкой, равен произведению суммарной силы Ампера на время действия: P = \int F\,dt. Поскольку F \propto I_рам и I_рам = \mathcal{E}/R_рам \propto (\Delta\Phi/\Delta t)/R_рам , то при умножении на \Delta t : P \propto \frac{\Delta\Phi}{R_рам} \propto \Delta\Phi \cdot D^2.

Направление импульса. Ток провода создаёт поле, убывающее с расстоянием. Ближний к проводу участок рамки испытывает большую силу Ампера, чем дальний. В результате рамка получает импульс, направленный от провода.

Сравнение двух вариантов.

В варианте (2) ток увеличен в 3 раза ( \Delta\Phi возрастает в 3 раза), диаметр провода в 2 раза ( D^2 возрастает в 4 раза). Поэтому: \frac{P_2}{P_1} = 3 \times 4 = 12.

Ответ: импульс рамки направлен от провода; в варианте (2) он в 12 раз больше, чем в варианте (1).