Излучение заряженных частиц: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 7: Излучение заряженных частиц

Плотность энергии электромагнитного поля

Плотность энергии электромагнитного поля складывается из электрической и магнитной составляющих: w = \frac{1}{2}\,\vec{E}\cdot\vec{D} + \frac{1}{2}\,\vec{H}\cdot\vec{B}, где \vec{E} — напряжённость электрического поля, \vec{D} — электрическая индукция, \vec{H} — напряжённость магнитного поля, \vec{B} — магнитная индукция.

Эта энергия распространяется в пространстве со скоростью света c . Связь электрической и магнитной постоянных в системе СИ: \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1.

Вектор Пойнтинга

Направление и плотность потока электромагнитной энергии характеризуется вектором Пойнтинга: \vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}. Вектор \vec{S} перпендикулярен одновременно \vec{E} и \vec{H} и определяется по правилу правой руки.

Связь между индукцией и напряжённостью полей: \vec{D} = \varepsilon_0\,\vec{E}, \qquad \vec{B} = \mu_0\,\vec{H}.

Поле равномерно движущегося заряда

Пусть точечный заряд Q покоится. Тогда он создаёт только электрическое поле, описываемое теоремой Гаусса: Q = \oint \vec{D}\cdot d\vec{S}.

Когда заряд движется со скоростью \vec{v} , в произвольной точке пространства, отстоящей от него на радиус-вектор \vec{r} , возникают обе компоненты поля: \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,\vec{r}}{r^3}, \qquad

\vec{D} = \frac{Q\,\vec{r}}{4\pi\,r^3}, \vec{B} = \frac{\vec{v}\times\vec{E}}{c^2}.

При равномерном движении вектор Пойнтинга перпендикулярен \vec{E} и \vec{B} и направлен так, что электромагнитное поле перетекает вместе с зарядом из тех точек, которые заряд покидает, в те точки, к которым он приближается. Поле не отрывается от заряда.

Излучение при ускоренном движении заряда

Если заряд долго покоился, затем в течение малого времени приобрёл скорость v \ll c , а после движется равномерно, то за время T с начала движения информация об изменении поля распространяется на расстояние cT . В тонком переходном слое между «старой» и «новой» картинами поля возникает поперечная составляющая вектора \vec{E} и ненулевое магнитное поле. Поперечная составляющая вектора Пойнтинга направлена радиально от заряда — это и есть уходящее излучение.

Излучение возникает именно в те промежутки времени, когда ускорение заряда отлично от нуля. После окончания ускорения отрывавшееся поле уносит энергию в окружающее пространство, а оставшееся поле продолжает двигаться вместе с зарядом.

Модельный расчёт мощности излучения

Рассмотрим заряженное тело, представленное двумя точечными зарядами q , q , разделёнными расстоянием L . При ускорении a всего тела информация о начале движения одного заряда достигает другого за время \tau = L/c . За это время каждый заряд смещается на: \Delta r = \frac{a\tau^2}{2} = \frac{aL^2}{2c^2}.

Изменение потенциальной энергии взаимодействия двух зарядов: \Delta W = kq^2\left[\frac{1}{L-\Delta r} - \frac{1}{L} + \frac{1}{L+\Delta r} - \frac{1}{L}\right]

= kq^2\cdot\frac{2(\Delta r)^2}{(L-\Delta r)\,L\,(L+\Delta r)}.

Подставляя \Delta r и упрощая (при \Delta r \ll L ): \Delta W \approx \frac{kq^2}{2}\cdot\frac{a^2 L^4/c^4}{L^3} = \frac{kq^2 a^2 L}{2c^4}.

Деля прирост энергии на характерное время \tau \sim L/c , получаем мощность: P \propto \frac{kq^2 a^2}{c^3}. Размерность и зависимость от входящих величин совпадают с результатом точного вывода Лармора.

Формула Лармора

Мощность электромагнитного излучения ускоренно движущегося заряда описывается формулой Лармора: \boxed{P = \frac{2kq^2a^2}{3c^3}.}

Мнемоника: в числителе три двойки ( 2 , q^2 , a^2 ), в знаменателе две тройки ( 3 , c^3 ), плюс электрическая постоянная k = 1/(4\pi\varepsilon_0) .

Ключевой физический смысл: любой заряд, движущийся с ненулевым ускорением, излучает электромагнитные волны. Мощность излучения пропорциональна квадрату заряда и квадрату ускорения.

Угловое распределение мощности: максимум — в направлениях, перпендикулярных вектору ускорения \vec{a} ; в направлении самого \vec{a} мощность обращается в нуль.