Излучение заряженных частиц: Часть 2

Видео

Конспект

Заряд в однородном магнитном поле. Синхротронное излучение

Положительный заряд $q$ массы $m$ движется со скоростью $\vec{v}$ в однородном магнитном поле $\vec{B}$. На него действует сила Лоренца: $$

\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}.

$$ Сила перпендикулярна $\vec{v}$, поэтому её мощность $\vec{F}\cdot\vec{v} = 0$ и кинетическая энергия, казалось бы, не должна изменяться. Тем не менее заряд движется с ускорением центростремительного типа, и по формуле Лармора он излучает.

Ускорение заряда (при $v \perp B$): $$

a = \frac{qvB}{m}.

$$

Мощность синхротронного излучения: $$

P = \frac{2kq^4B^2v^2}{3c^3m^2}.

$$

Квантовое объяснение потерь энергии

Перейдём в систему отсчёта, мгновенно покоящуюся вместе с зарядом. В ней скорость обращается в ноль, ускорение ненулевое, и излучение симметрично: $n$ квантов с частотой $f_0$ уходит вперёд и столько же — назад.

Возвращаясь в лабораторную систему: вследствие эффекта Доплера фотоны, летящие в направлении движения заряда, имеют более короткую длину волны (более высокую энергию), чем фотоны, летящие в противоположном направлении. Количество квантов в обоих направлениях одинаково, но их энергии различаются. Поэтому в направлении движения уходит больше энергии, чем в обратном направлении. Вместе с энергией уходит импульс — частица тормозится.

Именно этот эффект наблюдается в синхротронах: электрон, движущийся с релятивистской скоростью в магнитном поле, испускает направленное синхротронное излучение преимущественно вперёд по ходу движения.

Убывание энергии заряда в магнитном поле

Запишем уравнение убывания кинетической энергии заряда: $$

\Delta\!\left(\frac{mv^2}{2}\right) = -P\,\Delta t

\quad\Longrightarrow\quad

mv\,dv = -\frac{2kq^4B^2}{3c^3m^2}\,v^2\,dt.

$$

Сокращая на $v$: $$

\frac{dv}{v} = -A\,dt, \qquad A = \frac{2kq^4B^2}{3c^3m^3}.

$$

Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение: $$

v(t) = v_0\,e^{-At},

$$ где $v_0$ — начальная скорость. Кинетическая энергия убывает как $e^{-2At}$.

Время уменьшения скорости в $\sqrt{2}$ раз (т. е. уменьшения кинетической энергии вдвое): $$

t_{1/2} = \frac{\ln\sqrt{2}}{A} = \frac{\ln\sqrt{2}\cdot 3c^3m^3}{2kq^4B^2}.

$$