Бетатрон: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 14: Бетатрон

Принцип устройства

Бетатрон — циклический ускоритель заряженных частиц. Электромагнит с сердечником создаёт в зазоре между полюсами сильное магнитное поле B . Поле нарастает линейно со временем по закону B(t) = B_0 \frac{t}{\tau}, где \tau — характерное время нарастания. При этом различают:

\langle B \rangle — среднее значение поля по площади круга радиуса R ;

B_R — значение поля на окружности радиуса R , где движутся ускоряемые частицы.

Нарастающее магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, которое разгоняет заряженные частицы (например, протоны с зарядом q ), запущенные в кольцевую вакуумную камеру. Магнитное поле одновременно удерживает частицы на орбите радиуса R , так что скорость растёт, а радиус траектории остаётся постоянным.

Условие постоянства радиуса орбиты (условие бетатрона)

Магнитный поток через площадку, ограниченную орбитой: \Phi = \langle B \rangle \cdot \pi R^2.

По закону электромагнитной индукции циркуляция вихревого электрического поля по контуру длиной 2\pi R : E \cdot 2\pi R = \frac{d\Phi}{dt} = \frac{\langle B \rangle \, \pi R^2}{\tau}. Отсюда: E = \frac{\langle B \rangle \, R}{2\tau}.

Уравнение движения протона под действием силы qE : m\frac{dv}{dt} = qE \implies v(t) = \frac{qE}{m}\,t = \frac{q}{m}\cdot\frac{\langle B(t)\rangle \, R}{2}, где использовано \langle B(t)\rangle = B_0 t/\tau .

Условие движения по окружности постоянного радиуса R — баланс центростремительной силы и силы Лоренца: \frac{mv^2}{R} = q v B_R \implies mv = q B_R R.

Подставляя выражение для v : m \cdot \frac{q}{m}\cdot\frac{\langle B \rangle R}{2} = q B_R R.

После сокращений получаем условие бетатрона: \boxed{B_R = \frac{1}{2}\langle B \rangle} в любой момент времени. Именно это соотношение определяет профиль магнитного поля в зазоре: поле на рабочей орбите должно быть вдвое меньше среднего поля по площади, ограниченной орбитой.

Скорость частиц

Из полученных соотношений окончательная формула для скорости протона: v = \frac{q}{m}\cdot\frac{\langle B \rangle \, R}{2}.

Пример 1: Оценка параметров бетатрона

Дано:

Заряд протона: q = 1{,}6\times10^{-19} Кл.

Масса протона: m = \dfrac{10^{-3}}{6\times10^{23}} \approx 1{,}67\times10^{-27} кг.

Радиус орбиты: R = 1 м.

Среднее магнитное поле: \langle B \rangle = 1 Тл.

Магнитная проницаемость железного сердечника: \mu_r = 3\times10^{3} .

Характерный объём железа сердечника: V \approx 30 м ^3 (оценка: 4 \times 4 \times 2 м).

Время нарастания поля от 0 до 1 Тл: \Delta t = 10^{-2} с.

Решение:

1. Скорость протона.

v = \frac{q}{m}\cdot\frac{\langle B \rangle \, R}{2}

= \frac{1{,}6\times10^{-19}}{10^{-3}/(6\times10^{23})}

\cdot \frac{1 \cdot 1}{2}. Вычисляем удельный заряд: \frac{q}{m} = 1{,}6\times10^{-19} \cdot 6\times10^{23} \cdot 10^{3}

\approx 10^{8}\ Кл/кг.

v \approx 10^{8} \cdot \frac{1}{2} = 0{,}5\times10^{8}\ м/с \approx 0{,}17c. Скорость существенно меньше скорости света, поэтому классическое рассмотрение оправдано.

2. Энергия, запасённая в магнитном поле сердечника.

Плотность энергии магнитного поля в железе: w = \frac{B^2}{2\mu_0 \mu_r}.

Полная энергия: W = w \cdot V = \frac{B^2 \mu_r}{2\mu_0}\cdot\frac{V}{\mu_r^2}

= \frac{B^2}{2\mu_0 \mu_r}\cdot V.

Подставляем числа ( \mu_0 = 4\pi\times10^{-7} Гн/м): W = \frac{1^2}{2 \cdot 4\pi\times10^{-7} \cdot 3\times10^{3}}\cdot 30

\approx \frac{30}{2{,}4\pi\times10^{-3}}

\approx 0{,}5\times10^{4}\ Дж = 5\ кДж.

3. Мощность источника питания.

P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{5\times10^{3}}{10^{-2}} = 5\times10^{5}\ Вт = 0{,}5\ МВт. Ответ: скорость протона v \approx 0{,}5\times10^{8} м/с; запасённая энергия W \approx 5 кДж; потребляемая мощность P \approx 0{,}5 МВт.

Замечание о релятивистском пределе

Если увеличить магнитное поле до B = 10 Тл, то скорость, вычисленная по классической формуле, составила бы v \approx 0{,}5\times10^{9} м/с, что превышает скорость света. Это означает, что при полях порядка 10 Тл необходимо учитывать релятивистские эффекты. Мощность источника при этом возросла бы пропорционально B^2 , то есть в 100 раз, до \sim 50 МВт.