Колебательный контур и генератор: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 9: Колебательный контур и генератор

Энергия электрического и магнитного полей

Электрическое и магнитное поля способны запасать энергию. Плотность энергии электрического поля: w_E = \frac{\vec{E} \cdot \vec{D}}{2}, где \vec{E} — напряжённость, \vec{D} — электрическая индукция. Плотность энергии магнитного поля: w_B = \frac{\vec{B} \cdot \vec{H}}{2}.

Катушка индуктивности

Катушка индуктивности (дроссель) запасает энергию в магнитном поле. При токе I энергия равна: W = \frac{L I^2}{2} = \frac{\Phi I}{2} = \frac{\Phi^2}{2L}, где L — индуктивность, \Phi — магнитный поток через катушку.

Для соленоида с сердечником длиной l , сечением S , числом витков n и относительной магнитной проницаемостью \mu : L = \frac{\mu_0 \mu n^2 S}{l}.

Конденсатор

Конденсатор запасает энергию в электрическом поле. При напряжении U и заряде Q = CU : W = \frac{CU^2}{2} = \frac{QU}{2} = \frac{Q^2}{2C}.

Колебательный контур

Вывод уравнения колебаний

Соединим заряженный конденсатор ёмкостью C (начальное напряжение \mathcal{E} , начальный заряд Q_0 = C\mathcal{E} ) с катушкой индуктивностью L . Будем считать оба элемента идеальными (без потерь). Из закона сохранения энергии: \frac{q^2}{2C} + \frac{L\dot{q}^2}{2} = const, где q(t) — заряд конденсатора, \dot{q} = I — ток в цепи.

Дифференцируя по времени и сокращая на \dot{q} \neq 0 , получаем уравнение колебаний: \ddot{q} + \frac{1}{LC}\,q = 0.

Решение уравнения

Ищем решение в виде q = A e^{\lambda t} . Подстановка даёт характеристическое уравнение: \lambda^2 + \frac{1}{LC} = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2 = -\frac{1}{LC}.

Вводим мнимую единицу i , определяемую условием i^2 = -1 . Тогда: \lambda = \pm\, i\omega, \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

Используя формулу Эйлера e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi , общее вещественное решение: q(t) = B\cos(\omega t) + \vartheta\sin(\omega t).

Начальные условия

В момент t = 0 конденсатор заряжен, ток равен нулю: q(0) = C\mathcal{E}, \qquad \dot{q}(0) = 0. Из первого условия: B = C\mathcal{E} . Из второго: \vartheta\omega = 0 , то есть \vartheta = 0 .

Итоговое решение: \boxed{q(t) = C\mathcal{E}\cos\!\left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right).}

Заряд конденсатора (а следовательно, и ток в контуре) меняется по гармоническому закону с собственной циклической частотой \omega = 1/\sqrt{LC} .

Комплексные числа (справка)

Для решения уравнений вида \lambda^2 = -a^2 используют расширение вещественных чисел до комплексных: z = a + ib . На комплексной плоскости вещественная часть откладывается по оси x , мнимая — по оси y . При умножении двух комплексных чисел: (a_1 + ib_1)(a_2 + ib_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(b_1 a_2 + a_1 b_2). В полярной форме: z = r_0(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r_0 e^{i\varphi} , что следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора.