Формула Лармора, циклотронное излучение, ЭЛТ: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 1: Формула Лармора, циклотронное излучение, ЭЛТ

Электронно-лучевая трубка (ЭЛТ): устройство и принцип работы

Электронно-лучевая трубка применялась в осциллографах и телевизорах прошлого века для визуализации сигналов и передачи изображения. Конструктивно трубка представляет собой вакуумированный стеклянный корпус с узкой горловиной и расширяющейся колбой.

Электронная пушка. В начале горловины расположен нагреватель, разогревающий катод из материала с малой работой выхода ( \varphi \approx 1{-}1{,}5 эВ) до температуры T \approx 2000 К. За счёт термоэлектронной эмиссии электроны покидают поверхность катода. Отношение концентраций вылетевших электронов n_1 к электронам внутри материала n_0 описывается фактором Больцмана: \frac{n_1}{n_0} = e^{-\Delta U / (kT)}, где \Delta U — работа выхода, k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура. Чем выше температура, тем больше это отношение.

Ускоряющие электроды. Вылетевшие электроны ускоряются системой электродов с разностью потенциалов \Delta U . Приобретённая кинетическая энергия: eU \ll m_e c^2, поэтому для цветных телевизоров с \Delta U \approx 30 кВ (при энергии покоя электрона m_e c^2 \approx 0{,}5 МэВ) релятивистскими эффектами можно пренебречь.

Отклоняющие системы. Существуют два способа изменения направления пучка.

Электрическое отклонение (осциллограф): внутри трубки размещают отклоняющие пластины, к которым прикладывают разность потенциалов. Поперечное электрическое поле сообщает электронам дополнительную составляющую скорости.

Магнитное отклонение (телевизор): снаружи трубки располагают катушки индуктивности, создающие внутри горловины магнитное поле \mathbf{B} . На электрон действует магнитная составляющая силы Лоренца: \mathbf{F} = e\,(\mathbf{v} \times \mathbf{B}). Поскольку заряд электрона отрицательный, направление отклонения противоположно \mathbf{v} \times \mathbf{B} . Магнитное отклонение позволяет обеспечить большие углы поворота пучка. Двумя парами катушек реализуется строчно-кадровая развёртка.

После отклонения пучок фокусируется на слой люминофора, нанесённый на внутреннюю поверхность колбы. Электроны тормозятся в люминофоре, передавая энергию его атомам; возвращаясь в основное состояние, атомы излучают видимый свет.

Задача 1: Доля энергии, излучённой по формуле Лармора при торможении электрона в ЭЛТ

Задача: Оценить, какую долю от полученной кинетической энергии электрон теряет на тормозное излучение (формула Лармора) при разгоне и при торможении в люминофоре.

Решение:

Ускоренно движущийся заряд излучает мощность, определяемую формулой Лармора: P = \frac{2ke^2 a^2}{3c^3}, где k = 1/(4\pi\varepsilon_0) — электрическая постоянная, e — заряд электрона, a — ускорение, c — скорость света.

Ускорение электрона на участке разгона длиной L при разности потенциалов \Delta U : a = \frac{eE}{m_e} = \frac{e\,\Delta U}{m_e L}.

Время разгона \tau находится из L = \tfrac{1}{2}a\tau^2 : \tau = \sqrt{\frac{2L}{a}}.

Энергия, излучённая за время \tau : \mathcal{E}_изл = P\cdot\tau.

Отношение излучённой энергии к кинетической энергии, сообщённой электрону ( e\Delta U ), равно: \eta = \frac{\mathcal{E}_изл}{e\Delta U}

= \frac{ke^2}{Lm_ec^2}\sqrt{\frac{e\Delta U}{m_ec^2}}.

В этом выражении ke^2/L — электростатическая энергия масштаба e^2 , m_ec^2 — энергия покоя электрона, а \sqrt{e\Delta U/(m_ec^2)} — малый безразмерный множитель, связанный с нерелятивистским характером движения.

Численная оценка (разгон): при \Delta U = 10 кВ, L = 1 м: \eta \approx 4\times10^{-16}.

Численная оценка (торможение в люминофоре): толщина слоя люминофора L' \approx 10^{-4} м, то есть в 10^4 раз меньше. Поскольку \eta \propto 1/L , доля увеличивается в 10^4 раз, однако по-прежнему остаётся пренебрежимо малой: основные потери энергии электронов происходят за счёт возбуждения и ионизации атомов люминофора.

Ответ: Доля тормозного излучения по формуле Лармора составляет \eta \sim 10^{-12} даже при торможении в люминофоре, поэтому в задачах школьного курса физики этим механизмом потерь пренебрегают.