Электродвигатели: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 11: Электродвигатели

Электродвигатели — это устройства, преобразующие электрическую энергию (или энергию химических связей) в механическую. В рамках раздела «Электромагнетизм» рассмотрим несколько типов электродвигателей.

1. Двигатель постоянного тока: принцип работы

Рассмотрим простейшую модель. В однородном магнитном поле \vec{B} , направленном от северного полюса постоянного магнита к южному, размещена рамка с током, способная вращаться вокруг оси, перпендикулярной полю. Рамка подключена к источнику ЭДС \mathcal{E} через ключ.

В начальный момент рамка расположена так, что её плоскость содержит силовые линии поля. На два проводника рамки длиной L , перпендикулярных полю, действует сила Ампера. На каждый такой проводник: F = I L B. Поскольку силы, действующие на противоположные стороны рамки, направлены в противоположные стороны (по правилу правой руки), возникает момент сил. При площади одного витка S = L \cdot a момент сил на один виток: M_1 = F \cdot a = I L B \cdot a = S I B. Если рамка содержит n витков, суммарный момент: \boxed{M = n S I B.} Под действием этого момента рамка начинает вращаться.

2. ЭДС индукции при вращении рамки

Пусть рамка повернулась на угол \varphi от начального положения. Суммарный магнитный поток через n витков: \Phi_n = n B S \sin\varphi. По закону Фарадея ЭДС электромагнитной индукции: \mathcal{E}_{инд} = -\dot{\Phi}_n = -n B S \cos\varphi \cdot \dot{\varphi}. Вблизи начального положения (\cos\varphi \approx 1) : \mathcal{E}_{инд} \approx -n B S \,\dot{\varphi}.

3. Уравнения движения двигателя

Обозначим через R суммарное сопротивление цепи (внутреннее сопротивление источника и сопротивление обмотки), через J — момент инерции ротора, через M_{ext} — момент сил нагрузки (препятствующий вращению).

Закон Ома для контура с двумя ЭДС: I R = \mathcal{E} - n B S \,\dot{\varphi}.

\tag{1}

Второй закон Ньютона для вращательного движения: J \dot{\omega} = n S I B - M_{ext},

\tag{2} где \omega = \dot{\varphi} — угловая скорость.

Из уравнения (1) ток: I = \frac{\mathcal{E} - n B S \,\omega}{R}.

\tag{3}

Подставляя (3) в (2): J\dot{\omega} = \frac{n S B}{R}\!\left(\mathcal{E} - n B S \,\omega\right) - M_{ext}.

Вводим константы: \alpha = \frac{n S B \mathcal{E}/R - M_{ext}}{J}, \qquad

\beta = \frac{n^2 S^2 B^2}{R J}. Тогда уравнение принимает вид: \dot{\omega} + \beta\,\omega = \alpha.

\tag{4}

4. Решение уравнения движения

Установившаяся угловая скорость (при \dot{\omega}=0 ): \omega_{\max} = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\mathcal{E}/(nSB) - M_{ext} R/(n^2 S^2 B^2)}{1}. В частности, без нагрузки ( M_{ext}=0 ): \omega_{\max} = \frac{\mathcal{E}}{n S B}.

Делаем замену \omega(t) = \omega_{\max} + \tilde{\omega}(t) ; однородное уравнение \dot{\tilde{\omega}} + \beta\,\tilde{\omega} = 0 имеет решение \tilde{\omega}(t) = A e^{-\beta t} .

При начальном условии \omega(0)=0 получаем A = -\omega_{\max} , откуда: \boxed{\omega(t) = \omega_{\max}\!\left(1 - e^{-\beta t}\right).} Угловая скорость экспоненциально нарастает от нуля до установившегося значения \omega_{\max} .

Предельные режимы:

Ротор заторможен ( \omega = 0 ): ток максимален, I_{\max} = \mathcal{E}/R ; момент сил максимален.

Ротор свободен ( M_{ext}=0 ): при \omega = \omega_{\max} ток обращается в нуль.

5. Мощность и КПД двигателя

Мощность источника: P_{ист} = \mathcal{E} \cdot I.

Механическая мощность (мощность, передаваемая нагрузке): P_{мех} = M_{ext} \cdot \omega.

Зависимость P_{мех}(\omega) имеет параболическую форму: равна нулю при \omega = 0 и при \omega = \omega_{\max} , достигая максимума при: \omega = \frac{\omega_{\max}}{2}.

КПД при максимальной механической мощности: \eta = \frac{P_{мех}}{P_{ист}} = 50%. Таким образом, в режиме максимальной мощности половина энергии источника рассеивается в виде тепла в проводах.