Вычисление ЭДС в сложных контурах: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 12: Вычисление ЭДС в сложных контурах

Формальная процедура вычисления ЭДС электромагнитной индукции

Для нахождения правильной величины и знака ЭДС электромагнитной индукции необходимо последовательно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Выбор контура и направления обхода. Выбирается замкнутый контур в пространстве (он может быть произвольной формы, в том числе меняться со временем). Контуру приписывается положительное направление обхода — например, определяемое полярностью включённого в разрыв амперметра: если положительные носители заряда входят в клемму « + » и выходят из клеммы « - », ток считается положительным.

Шаг 2: Натягивание поверхности и выбор нормали. На выбранный контур натягивается поверхность, опирающаяся своими краями на этот контур. К каждому элементу поверхности приписывается вектор нормали d\mathbf{S} , направление которого согласовано с направлением обхода по правилу правого буравчика: если буравчик вворачивается в направлении обхода контура, его поступательное движение указывает направление нормали.

Шаг 3: Вычисление магнитного потока. Магнитный поток через выбранную поверхность: \Phi = \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}.

Шаг 4: Вычисление ЭДС. ЭДС электромагнитной индукции равна взятой со знаком минус полной производной магнитного потока по времени: \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}. Знак «минус» отражает правило Ленца: индуцированный ток направлен так, чтобы противодействовать изменению потока, вызвавшему его появление.

Шаг 5: Проверка знака. Если полученная ЭДС положительна, выбранное направление обхода угадано верно. Отрицательный знак означает, что реальный ток противоположен выбранному направлению обхода, однако физический результат от этого не меняется.

Примеры: неподвижный контур в переменном поле и движущийся контур

Пример 1: Неподвижный прямоугольный контур в переменном поле соленоида.

Решение: Длинный соленоид создаёт однородное магнитное поле B , направленное от нас (перпендикулярно плоскости рисунка), которое меняется по закону: B(t) = \frac{B_0\, t}{\tau}. Снаружи соленоида поле равно нулю. Контур неподвижен и частично перекрывается с областью поля соленоида; площадь перекрытия обозначим S_k . Вектор нормали к поверхности контура совпадает по направлению с \mathbf{B} , поэтому поток положителен: \Phi = S_k \cdot \frac{B_0\, t}{\tau}. ЭДС: \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{S_k\, B_0}{\tau}.

Ответ: \mathcal{E} = -\dfrac{S_k B_0}{\tau} (ток будет отрицателен относительно выбранного направления обхода).

Пример 2: Движущаяся перемычка в постоянном однородном поле.

Решение: Две параллельные направляющие расположены на расстоянии L друг от друга. По ним скользит перемычка с сопротивлением R , движущаяся вправо со скоростью v = \mathrm{const} . Магнитное поле \mathbf{B} = B_0 = \mathrm{const} направлено вертикально вверх. Расстояние от амперметра до перемычки обозначим x(t) .

Площадь контура: S = L\,x . Вектор нормали сонаправлен с \mathbf{B} , поэтому поток: \Phi = B_0\, L\, x(t). Поскольку \dot{x} = v : \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -B_0\, L\, v. Ток в контуре: I = \frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{B_0\, L\, v}{R}.

Ответ: I = -\dfrac{B_0 L v}{R} (знак зависит от выбора полярности амперметра).