Вычисление ЭДС в сложных контурах: Часть 2

Видео

Конспект

Электрическое поле, индуцированное переменным магнитным полем соленоида

Рассмотрим соленоид радиуса $r$, в котором $B(t) = B_0 t/\tau$. Благодаря цилиндрической симметрии поле $\mathbf{E}$, порождаемое электромагнитной индукцией, направлено по касательной к окружностям, концентричным оси соленоида.

Случай $x \leq r$ (внутри): Выбираем контур радиуса $x < r$. Площадь: $\pi x^2$; нормаль направлена к нам, поле $\mathbf{B}$ — от нас, поэтому: $$

\Phi = -\pi x^2 \cdot \frac{B_0\, t}{\tau}.

$$ Из уравнения $\mathcal{E} = E(x)\cdot 2\pi x = -d\Phi/dt$: $$

E(x)\cdot 2\pi x = \frac{\pi x^2\, B_0}{\tau}

\quad\Rightarrow\quad

\boxed{E(x) = \frac{x\, B_0}{2\tau}, \quad x \leq r.}

$$ Поле растёт линейно с расстоянием от оси.

Случай $x \geq r$ (снаружи): Поток через контур радиуса $x > r$ определяется только площадью сечения соленоида $\pi r^2$: $$

E(x)\cdot 2\pi x = \frac{\pi r^2\, B_0}{\tau}

\quad\Rightarrow\quad

\boxed{E(x) = \frac{r^2\, B_0}{2\tau\, x}, \quad x \geq r.}

$$ Поле убывает как $1/x$.

Максимум поля достигается при $x = r$: $E_{\max} = r B_0 / (2\tau)$.

Показания приборов в контурах вокруг соленоида

Используются идеальные приборы: идеальный вольтметр имеет бесконечное сопротивление (ток не пропускает); идеальный амперметр — нулевое сопротивление.

Ключевое правило: показания прибора определяются магнитным потоком через поверхность, натянутую на контур, в который включён прибор.

Пример 3: Контур не охватывает соленоид.

Решение: Магнитный поток через поверхность контура равен нулю, $\Phi = 0$, следовательно, $\mathcal{E} = 0$. Любой идеальный прибор покажет нулевое значение.

Ответ: $U = 0$, $I = 0$ (независимо от формы контура, если он не охватывает область поля).

Пример 4: Контур охватывает соленоид один раз.

Решение: Площадь поперечного сечения соленоида $S_0$; $B(t) = B_0 t/\tau$. Нормаль сонаправлена с $\mathbf{B}$, поток: $$

\Phi = S_0 \cdot \frac{B_0\, t}{\tau}.

$$ ЭДС: $$

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{S_0\, B_0}{\tau}.

$$ Вольтметр показывает $U = \mathcal{E} = -S_0 B_0/\tau$. Ток через амперметр: $I = \mathcal{E}/R = -S_0 B_0 / (R\tau)$.

Ответ: $U = -\dfrac{S_0 B_0}{\tau}$; $\quad I = -\dfrac{S_0 B_0}{R\tau}$.

Пример 5: Контур делает $1{,}5$ оборота вокруг соленоида.

Решение: Контур охватывает суммарную площадь $1{,}5\,S_0$. Если направление обхода задано так, что нормаль направлена от нас (против $\mathbf{B}$), то: $$

\Phi = -1{,}5\,S_0 \cdot \frac{B_0\, t}{\tau},

\quad

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = \frac{1{,}5\,S_0\, B_0}{\tau}.

$$

Ответ: $\mathcal{E} = \dfrac{3 S_0 B_0}{2\tau}$ (ЭДС положительна при данном выборе клемм).

Пример 6: Контур с самопересечением, охватывающий два участка.

Решение: Контур охватывает два участка области поля с площадями $S_1$ и $S_2$, причём направления нормалей к этим участкам противоположны. Потоки имеют разные знаки: $$

\mathcal{E} = \frac{B_0}{\tau}\,(S_1 - S_2).

$$ При $S_1 = S_2$ ЭДС обращается в нуль; при $S_1 > S_2$ — положительна.

Ответ: $\mathcal{E} = \dfrac{B_0}{\tau}(S_1 - S_2)$.

Эквивалентные схемы для контуров с общими проводами

Когда в схеме присутствуют общие провода, в которых возникает ЭДС вихревого поля, используют следующий приём для построения эквивалентной схемы.