Индуктивность и трансформатор: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 8: Индуктивность и трансформатор

Магнитное поле в ферромагнитном сердечнике

В некоторых материалах, например в ферромагнетиках, относительная магнитная проницаемость \mu существенно превышает единицу. Для железа \mu \sim 5 \times 10^3 , что обеспечивает значительное усиление магнитного поля по сравнению с вакуумом или воздухом.

Рассмотрим длинный замкнутый сердечник из железа с поперечным сечением S и полной длиной L , причём \sqrt{S} \ll L . На сердечник намотана катушка из n витков провода. По теореме о циркуляции вектора магнитной индукции: \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{r} = \mu_0\,\mu\, n\, I, где I — ток в катушке. Поскольку \sqrt{S} \ll L , поле B внутри сердечника можно считать однородным, и интеграл сводится к: B \cdot L = \mu_0\,\mu\, n\, I

\quad\Longrightarrow\quad

B = \frac{\mu_0\,\mu\, n\, I}{L}.

Индуктивность (коэффициент самоиндукции)

Полный магнитный поток, пронизывающий все n витков катушки: \Phi = n S B = \frac{\mu_0\,\mu\, n^2 S}{L}\, I.

Величина, связывающая магнитный поток с током, называется индуктивностью (коэффициентом самоиндукции) катушки: \boxed{L = \frac{\mu_0\,\mu\, n^2 S}{\ell}}, где \ell — длина сердечника (для единообразия обозначим геометрическую длину \ell , а индуктивность — L ). Тогда: \Phi = L\, I.

По закону Фарадея ЭДС электромагнитной индукции (ЭМИ): \mathcal{E}_{ЭМИ} = -\frac{d\Phi}{dt} = -L\,\frac{dI}{dt}.

Нарастание тока в цепи с индуктивностью

Рассмотрим цепь: идеальный источник с ЭДС \mathcal{E} , катушка с индуктивностью L и полным сопротивлением обмотки R . Применяя закон Ома для полной цепи: \mathcal{E} - L\,\frac{dI}{dt} = I R.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. При начальном условии I(0) = 0 его решение: \boxed{I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\!\left(1 - e^{-\frac{R}{L}\,t}\right)}.

При t \to \infty ток стремится к установившемуся значению I_0 = \mathcal{E}/R , при t = 0 ток равен нулю. График I(t) представляет собой экспоненциально нарастающую кривую, выходящую на плато I_0 .

Устройство, обладающее значительной индуктивностью, называют соленоидом или дросселем. Дроссели применяются, в частности, для ограничения тока в цепях переменного тока (например, в схемах питания люминесцентных ламп).