Вещество в электромагнитном поле и томография: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 15: Вещество в электромагнитном поле и томография

1. Взаимодействие вещества с электрическим полем. Поляризация атомов

Рассмотрим простую модель атома: положительный заряд +q в центре окружён электронным облаком с зарядом -q . Плотность электронного облака вблизи ядра равна \rho_0 .

Если атом помещён во внешнее электрическое поле E_0 , суммарный заряд атома равен нулю, поэтому суммарная сила на него равна нулю. Тем не менее ядро смещается относительно центра облака на расстояние x вдоль поля.

Поле электронного облака. Применяя теорему Гаусса для сферической поверхности радиуса x вокруг центра облака: E(x) \cdot 4\pi x^2 = \frac{Q_{\mathrm{внутри}}}{\varepsilon_0} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi x^3 \rho_0}{\varepsilon_0}, откуда E(x) = \frac{x\rho_0}{3\varepsilon_0}.

Условие равновесия ядра (суммарная сила равна нулю): qE_0 - q\,\frac{x\rho_0}{3\varepsilon_0} = 0

\quad\Longrightarrow\quad

x = \frac{3\varepsilon_0 E_0}{\rho_0}.

2. Поле внутри диэлектрика различной формы

Длинный цилиндр вдоль поля. Поляризационные заряды сосредоточены на торцах, далеко от середины образца, их вклад в поле внутри пренебрежимо мал. Кроме того, из закона сохранения энергии (циркуляция \mathbf{E} по замкнутому контуру равна нулю) следует: E_1 = E_0.

Пластина, перпендикулярная полю. За счёт поляризации на поверхностях пластины возникают связанные заряды, частично компенсирующие внешнее поле. По определению диэлектрической проницаемости \varepsilon : E_1 = \frac{E_0}{\varepsilon}. Поле вне пластины (сверху и снизу) остаётся равным E_0 .

Шар из диэлектрика. Поле внутри атома, входящего в состав шара, определяется тремя вкладами: внешним полем E_0 , полем поляризованных зарядов на внешней поверхности шара и полем зарядов ближайшего окружения данного атома. Вклады от поверхности шара и от ближайшего окружения взаимно компенсируются (так как форма обеих поверхностей — сфера, а смещение одинаково). Поэтому атомы в шаре поляризуются так же, как одиночные атомы во внешнем поле E_0 , то есть смещение x определяется той же формулой, что и для одиночного атома. Результирующее поле внутри шара: E_{\mathrm{шар}} = E_0 - \frac{1}{3}\,\frac{x\rho_1}{\varepsilon_0}, где \rho_1 = nq — средняя плотность связанных зарядов в веществе ( n — концентрация атомов).

3. Формула Клаузиуса–Моссотти

Атом в объёме вещества (при заполнении всего пространства) находится в суммарном поле: E_1 = E_0 - \frac{x\rho_1}{\varepsilon_0} + \frac{x\rho_1}{3\varepsilon_0}. Первая поправка — от плоских поляризационных слоёв (уменьшает поле), вторая — от ближайшего окружения атома в виде сферической полости (увеличивает поле). Условие равновесия ядра в этом поле: E_1 = \frac{x\rho_0}{3\varepsilon_0}. Отсюда: x = \frac{3\varepsilon_0 E_0}{\rho_0 + 2\rho_1}. Подставляя в выражение E_1 = E_0/\varepsilon (определение \varepsilon для пластины): 1 - \frac{3\rho_1}{\rho_0 + 2\rho_1} = \frac{1}{\varepsilon}. Вводя обозначение y = \rho_1/\rho_0 : 1 - \frac{3y}{1 + 2y} = \frac{1}{\varepsilon}

\quad\Longrightarrow\quad

y = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2}.

Это соотношение связывает экспериментально измеряемую диэлектрическую проницаемость \varepsilon с отношением средней плотности зарядов в веществе \rho_1 к плотности электронного облака вблизи ядра \rho_0 .

Поле внутри шара через параметры вещества: E_{\mathrm{шар}} = E_0\!\left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_0}\right) = E_0\!\left(1 - y\right) = E_0 \cdot \frac{3}{\varepsilon + 2}. При \varepsilon > 1 это поле меньше E_0 , но больше E_0/\varepsilon (поля внутри пластины).