Магнитное поле токов и релятивизм: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 3: Магнитное поле токов и релятивизм

Закон Био–Савара–Лапласа

Электрические заряды, в зависимости от выбранной системы отсчёта, создают в пространстве электрическое поле или одновременно электрическое и магнитное поле. Физики Био и Савар экспериментально исследовали взаимодействие проводников с током: измеряли силы взаимодействия витков различной формы (круглых, квадратных, прямоугольных) при различных их расположениях. Поскольку была известна сила Ампера, F_Ампера = I\,L\,B\,\sin\alpha, где L — длина участка проводника, I — ток, B — индукция магнитного поля, \alpha — угол между проводником и вектором \vec{B} , — удалось накопить обширную экспериментальную базу.

Математический анализ этих данных выполнил Лаплас. Он предположил: (1) выполняется принцип суперпозиции; (2) направление движения зарядов и создаваемое ими магнитное поле взаимно перпендикулярны. На этой основе он предложил формулу для вклада в магнитное поле от малого участка проводника с током — закон Био–Савара–Лапласа.

Поле движущегося заряда

Рассмотрим участок проводника: сечение S , длина L , концентрация носителей n , заряд каждого носителя q , скорость дрейфа \vec{v} . Суммарный заряд в участке: Q = S\,L\,n\,q.

Этот заряд движется со скоростью \vec{v} . В точке, удалённой на расстояние R , он создаёт:

электрическое поле: \vec{E} = k\,\frac{q\,\vec{R}}{R^3};

магнитное поле: \vec{B} = \frac{1}{c^2}\,\vec{v}\times\vec{E}.

Размерность согласована: [B] = [E]/[скорость] , и при вычислении силы \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{u}\times\vec{B}\right) множители скорости сокращаются корректно.

По принципу суперпозиции вклады всех участков проводника суммируются, что полностью подтвердило эксперименты Био и Савара.

Взаимодействие двух движущихся зарядов и третий участник

Рассмотрим два заряда Q и q , движущихся соответственно со скоростями \vec{v} и \vec{u} .

Электрические силы направлены вдоль линии, соединяющей заряды, и противоположны (заряды одного знака отталкиваются) — соответствует третьему закону Ньютона.

Магнитное поле, созданное зарядом Q в месте расположения q , действует на q с силой \vec{F}_маг = q\,\vec{u}\times\vec{B} , которая не направлена вдоль соединяющей линии.

Магнитное поле, созданное зарядом q в месте расположения Q , равно нулю, если \vec{R} \parallel \vec{u} (векторное произведение обращается в ноль).

Таким образом, магнитные силы не равны и противоположны, что формально нарушает третий закон Ньютона. Противоречие разрешается тем, что заряды движутся с ускорением, а значит излучают электромагнитные волны, уносящие энергию и импульс. В системе появляется третий участник взаимодействия — электромагнитное излучение. Суммарный импульс (зарядов + поля излучения) сохраняется.

Магнитное поле длинного провода с током

Рассмотрим длинный прямой провод, по которому течёт ток I : положительные носители (концентрация n , заряд q ) движутся с постоянной скоростью \vec{v} , отрицательные носители покоятся. Суммарный заряд провода равен нулю, поэтому электрическое поле вне провода равно нул: \vec{E} = 0 .

Для нахождения магнитного поля на расстоянии R от провода применим теорему Гаусса к полю, создаваемому только движущимися «плюсами», выбрав цилиндрическую поверхность радиуса R и длины L : E_+\cdot 2\pi R L = \frac{S\,L\,n\,q}{\varepsilon_0}

\implies

E_+ = \frac{S\,n\,q}{2\pi\varepsilon_0\,R}.

Из соотношения \vec{B} = \tfrac{1}{c^2}\,\vec{v}\times\vec{E}_+ и определения тока I = S\,n\,q\,v : B = \frac{1}{c^2}\,v\,E_+ = \frac{S\,n\,q\,v}{2\pi\varepsilon_0\,c^2\,R} = \frac{\mu_0\,I}{2\pi R}, где использовано соотношение c^2 = \tfrac{1}{\varepsilon_0\mu_0} . Это формула магнитного поля бесконечного прямого провода.

Связь магнитного поля с релятивистской физикой

Пусть рядом с проводом движется положительный заряд q со скоростью \vec{v} (параллельно току). Магнитное поле \vec{B} направлено перпендикулярно плоскости «провод – заряд», и на заряд действует сила Лоренца, направленная к проводу: \vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}.

Перейдём в систему отсчёта СО _2 , движущуюся со скоростью \vec{v} вместе с зарядом. В СО _2 заряд покоится, магнитная сила на него не действует. Однако сила не может зависеть от выбора инерциальной системы отсчёта. Значит, в СО _2 должна появиться электрическая сила той же величины.

Почему возникает электрическое поле? В СО _1 концентрации «плюсов» и «минусов» равны, провод нейтрален. При переходе в СО _2 :

«плюсы», двигавшиеся со скоростью v , теперь покоятся — расстояния между ними увеличиваются (релятивистское расширение);

«минусы», стоявшие на месте, теперь движутся со скоростью v в противоположном направлении — расстояния между ними сокращаются (релятивистское сжатие).

В итоге концентрация «минусов» в проводе превышает концентрацию «плюсов»: провод заряжается отрицательно. Это создаёт электрическое поле, притягивающее положительный заряд к проводу, — именно та сила, что в СО _1 объяснялась магнитным полем.

Вывод: магнитное поле является прямым следствием релятивистского сокращения длин при переходе между инерциальными системами отсчёта. Магнетизм и электричество — два проявления единого электромагнитного взаимодействия.