Магнитное поле токов и релятивизм: Часть 2

Видео

Конспект

Преобразование электрического и магнитного полей при смене системы отсчёта

При переходе из системы СО _1 в систему СО _2 , движущуюся относительно СО _1 со скоростью \vec{v} , поля преобразуются следующим образом (приближённые формулы, справедливые при v \ll c ):

\begin{aligned}

\vec{E}_2 &\approx \vec{E}_1 - \vec{v}\times\vec{B}_1,\\

\vec{D}_2 &\approx \vec{D}_1 - \frac{1}{c^2}\,\vec{v}\times\vec{H}_1, \\

\vec{H}_2 &\approx \vec{H}_1 + \vec{v}\times\vec{D}_1, \\

\vec{B}_2 &\approx \vec{B}_1 + \frac{1}{c^2}\,\vec{v}\times\vec{E}_1. \

\end{aligned} Закономерность: формулы для электрического и магнитного полей внешне симметричны; единственное отличие — знак: для электрического поля стоит « - », для магнитного — « + ».

Релятивистский множитель и точность приближения

Указанные формулы являются приближёнными: отличие от точных выражений составляет порядок v^2/c^2 . Это следует из требования инвариантности при двойном преобразовании: переход СО _1\to СО _2\to СО _1 должен возвращать исходные поля. Двукратное применение приближённых формул даёт множитель (1 - v^2/c^2) вместо единицы, откуда возникает релятивистский (лоренцев) множитель: \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}\,\frac{v^2}{c^2}.

Пример численной оценки. Скорость Земли вокруг Солнца v \approx 30 км/с = 3\times10^4 м/с , скорость света c = 3\times10^8 м/с . Тогда: \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{3\times10^4}{3\times10^8}\right)^2 = 10^{-8},

\qquad

\gamma - 1 \approx \frac{1}{2}\times10^{-8}. Поправка составляет половину стомиллионной доли — пренебрежимо мала для большинства задач. При v \ll c приближёнными формулами можно пользоваться без ограничений.

Электромагнитное излучение ускоренных зарядов

Если заряженная частица движется с ускорением, её скорость меняется, а вместе с ней меняется конфигурация полей. Возмущение поля, возникшее при разгоне (или торможении), распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны, несущей одновременно электрическое и магнитное поля. Эта волна уносит и энергию, и импульс.

Строгое описание данного явления требует уравнений, инвариантных относительно любой инерциальной системы отсчёта, — уравнений Максвелла, к которым будет посвящено следующее занятие. Конкретный мысленный эксперимент Ричарда Фейнмана, иллюстрирующий механизм излучения, также будет рассмотрен на одном из последующих занятий.