Уравнения Максвелла и соленоид: Часть 1

Видео

Конспект

Лекция 4: Уравнения Максвелла и соленоид

Связь между электрическим и магнитным полями движущегося заряда

Если положительный заряд q движется со скоростью \vec{v} , то на расстоянии \vec{r} от него электрическое поле определяется законом Кулона: \vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3}. В этой же точке присутствует магнитное поле: \vec{B} = \frac{1}{c^2}\,\vec{v} \times \vec{E}.

На пробный заряд q' , движущийся со скоростью \vec{v}' , действует сила Лоренца: \vec{F} = q'\!\left(\vec{E} + \frac{1}{c^2}\,\vec{v}' \times (\vec{v} \times \vec{E})\right).

Теорема Гаусса для магнитного поля

Теорема Гаусса для электрического поля утверждает, что поток вектора \vec{E} через замкнутую поверхность S равен суммарному заряду внутри, делённому на \varepsilon_0 : \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\mathrm{внутр}}}{\varepsilon_0}.

Магнитное поле каждого движущегося заряда образует замкнутые кольцеобразные силовые линии. Любая замкнутая поверхность пересекается такими кольцами чётное число раз: сколько силовых линий вошло, ровно столько и вышло. В силу принципа суперпозиции суммарный магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это и есть теорема Гаусса для магнитного поля (второе уравнение Максвелла): \oint_S \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0.