Уравнения Максвелла и соленоид: Часть 3
Физика, 11 класс
Ток смещения и уравнения Максвелла Ток смещения Теорема о циркуляции в виде $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\mathrm{полн}}$ справедлива лишь для стационарных токов. В нестационарном случае рез...
Видео
Конспект
Ток смещения и уравнения Максвелла
Ток смещения
Теорема о циркуляции в виде $\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\mathrm{полн}}$ справедлива лишь для стационарных токов. В нестационарном случае результат зависит от выбора поверхности, натянутой на контур.
Пример: цепь с конденсатором. По проводам течёт ток $I$, однако между пластинами ток проводимости отсутствует. Выбор поверхности, проходящей между пластинами, даёт нулевой ток зарядов, тогда как другая поверхность, пересекающая провод, даёт ток $I$. Противоречие устраняется введением тока смещения.
Для плоского конденсатора (площадь пластин $S_c$, заряд $Q$, поле между пластинами $E$): $$
Q = \varepsilon_0 E S_c \implies \dot{Q} = \varepsilon_0 \dot{E} S_c.
$$ Таким образом, ток смещения через площадку $S_c$ равен $\varepsilon_0 \dot{E} S_c$. В общем случае он записывается как поверхностный интеграл: $$
I_{\mathrm{смещ}} = \int_{S_\Gamma} \dot{\vec{D}}\cdot d\vec{S},
\quad \vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}.
$$
Полная теорема о циркуляции (четвёртое уравнение Максвелла): $$
\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l}
= \mu_0\!\left(I_{\mathrm{полн}} + \int_{S_\Gamma} \dot{\vec{D}}\cdot d\vec{S}\right).
$$
Четыре уравнения Максвелла
Теорема Гаусса для электрического поля: $$
\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\mathrm{внутр}}}{\varepsilon_0},
\qquad
\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S} = Q_{\mathrm{внутр}}.
$$
Теорема Гаусса для магнитного поля: $$
\oint_S \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0.
$$
Закон электромагнитной индукции (Фарадей): $$
\oint_\Gamma \vec{E}\cdot d\vec{l} = -\dot{\Phi}_B,
\qquad
\Phi_B = \int_{S_\Gamma} \vec{B}\cdot d\vec{S}.
$$
Теорема о циркуляции магнитного поля (Ампер–Максвелл): $$
\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l}
= \mu_0\!\left(I_{\mathrm{полн}} + \int_{S_\Gamma} \dot{\vec{D}}\cdot d\vec{S}\right).
$$
Эти четыре уравнения в совокупности с выражением для силы Лоренца полностью описывают электромагнитное поле. При скоростях движения частиц, много меньших скорости света, они адекватно описывают все электромагнитные явления; при переходе между инерциальными системами отсчёта уравнения сохраняют свою форму, но выражения для полей изменяются.