Уравнения Максвелла и соленоид: Часть 2

Видео

Конспект

Теорема о циркуляции магнитного поля

Поле прямого длинного провода с током

Рассмотрим провод, по которому течёт ток $I$. Носители заряда (концентрация $n$, заряд $e$, скорость $v$, сечение провода $S$) движутся вдоль провода; отрицательные заряды того же значения концентрации неподвижны. Благодаря цилиндрической симметрии из теоремы Гаусса следует электрическое поле на расстоянии $x$ от оси: $$

E = \frac{enS}{2\pi\varepsilon_0 x}.

$$ Применяя формулу $\vec{B} = \dfrac{1}{c^2}\,\vec{v}\times\vec{E}$ и учитывая, что $\mu_0\varepsilon_0 c^2 = 1$, получаем магнитное поле прямого длинного провода: $$

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi x}.

$$

Доказательство теоремы о циркуляции

Рассмотрим произвольный замкнутый контур $\Gamma$ в пространстве и натянем на него поверхность $S_\Gamma$. Разобьём $S_\Gamma$ на малые элементы. Для каждого тока, пересекающего поверхность, вклад в циркуляцию от всех участков вне малой окрестности пересечения взаимно компенсируется (поле приближённо постоянно на расстояниях малого контура). Для кругового контура радиуса $x$, охватывающего провод с током, циркуляция равна: $$

\oint B\,dl = B\cdot 2\pi x = \mu_0 I.

$$ Складывая вклады всех токов с учётом знака (знак определяется взаимной ориентацией вектора скорости заряда и нормали к поверхности), получаем теорему о циркуляции для стационарных токов: $$

\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\mathrm{полн}},

$$ где $I_{\mathrm{полн}}$ — алгебраическая сумма токов, пронизывающих поверхность $S_\Gamma$.

Если контур обернут вокруг провода $n$ раз: $$

\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 n I.

$$