Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 1): Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 5: Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 1)

1. Сохранение магнитного потока в системе двух параллельных индуктивностей

Рассмотрим две индуктивности L_1 и L_2 , включённые параллельно. Начальные токи в катушках — I_1 и I_2 соответственно.

Закон сохранения потока. Если индуктивности идеальные (без омического сопротивления), то при любых внешних воздействиях суммарный магнитный поток, пронизывающий витки обеих катушек, сохраняется: L_1 I_1 + L_2 I_2 = \mathrm{const}. Это следует из уравнений для двух контуров цепи. Для первого контура: L_1 \frac{dI_1}{dt} = U, для второго (обход в противоположном направлении): L_2 \frac{dI_2}{dt} = -U. Складывая эти уравнения, получаем: L_1 \frac{dI_1}{dt} + L_2 \frac{dI_2}{dt} = 0

\quad\Longrightarrow\quad

\frac{d}{dt}\bigl(L_1 I_1 + L_2 I_2\bigr) = 0.

2. Задача: параллельные катушки с резистором

Задача 1. Две идеальные катушки L_1 и L_2 с начальными токами I_1 и I_2 подключены параллельно через резистор R (внешние источники тока отключены). Найти:

заряд Q_\mathrm{el} , прошедший через резистор за всё время;

теплоту Q_\mathrm{th} , выделившуюся в резисторе.

Решение.

Установившийся ток. По прошествии достаточно большого времени токи в обеих катушках выравниваются до некоторого значения I_\infty . Из закона сохранения потока: L_1 I_\infty + L_2 I_\infty = L_1 I_1 + L_2 I_2

\quad\Longrightarrow\quad

I_\infty = \frac{L_1 I_1 + L_2 I_2}{L_1 + L_2}.

Случай A: I_1 = I_2 . Разность токов через резистор равна нулю, поэтому: Q_\mathrm{el} = 0, \qquad Q_\mathrm{th} = 0. Вся энергия остаётся запасённой в магнитном поле катушек.

Случай B: I_1 \neq I_2 . Начальная энергия магнитного поля: W_0 = \frac{L_1 I_1^2}{2} + \frac{L_2 I_2^2}{2}. Конечная энергия магнитного поля (катушки разнесены далеко друг от друга, взаимная индуктивность равна нулю): W_\infty = \frac{L_1 + L_2}{2}\,I_\infty^2

= \frac{(L_1 I_1 + L_2 I_2)^2}{2(L_1 + L_2)}. Теплота, выделившаяся в резисторе: \boxed{Q_\mathrm{th} = W_0 - W_\infty

= \frac{L_1 I_1^2}{2} + \frac{L_2 I_2^2}{2}

- \frac{(L_1 I_1 + L_2 I_2)^2}{2(L_1 + L_2)}.}

Частный случай. Если токи направлены встречно и L_1 I_1 + L_2 I_2 = 0 , то I_\infty = 0 и вся запасённая энергия переходит в теплоту: Q_\mathrm{th} = W_0 .

3. Задача: заряд и ток при размыкании цепи катушки

Задача 2. Катушка индуктивности L с начальным током I_0 в момент t = 0 подключается к резистору R (внешняя цепь питания одновременно разрывается). Найти зависимость тока от времени и полный заряд, прошедший через резистор.

Решение. Уравнение замкнутого контура (ЭДС индукции равна падению напряжения на резисторе): L\frac{dI}{dt} + RI = 0. Решение: I(t) = I_0\,e^{-Rt/L}. Полный заряд находится интегрированием уравнения по времени от 0 до \infty : R\int_0^\infty I\,dt = -L\int_0^\infty \frac{dI}{dt}\,dt

= -L\bigl[I(\infty) - I(0)\bigr] = L I_0, откуда: \boxed{Q_\mathrm{el} = \int_0^\infty I\,dt = \frac{L I_0}{R} = \frac{\Phi}{R},} где \Phi = L I_0 — начальный магнитный поток.

Общее правило. Заряд, протёкший через резистор за время изменения магнитного потока от \Phi_1 до \Phi_2 , равен: Q_\mathrm{el} = \frac{\Delta\Phi}{R} = \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{R}.