Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 1): Часть 4

Видео

Конспект

7. Приложение: кабель как бесконечная $LC$-цепочка

Коаксиальный кабель (или двухпроводная линия) можно моделировать бесконечной $LC$-цепочкой, где каждое элементарное звено длиной $dx$ имеет:

последовательную индуктивность $dL$ (магнитное поле тока в проводниках);

параллельную ёмкость $dC$ (электрическое поле между проводниками).

Подставляя $Z_1 = i\omega L$ и $Z_2 = \dfrac{1}{i\omega C}$ в формулу для $Z_\mathrm{eq}$: $$

Z_\mathrm{eq} = \frac{i\omega L}{2} + \sqrt{\frac{i\omega L}{i\omega C} + \left(\frac{i\omega L}{2}\right)^2}

= \frac{i\omega L}{2} + \sqrt{\frac{L}{C} - \frac{\omega^2 L^2}{4}}.

$$ В низкочастотном пределе $\omega \ll \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$: $$

Z_\mathrm{eq} \approx \sqrt{\frac{L}{C}} \equiv Z_0.

$$ Величина $Z_0 = \sqrt{L/C}$ — волновое сопротивление кабеля (характеристический импеданс). Типичные значения: 50 Ом или 75 Ом для телевизионных кабелей. Если к концу кабеля подключить нагрузку $R = Z_0$, отражённых волн не возникает.

Индуктивность двухпроводной линии. Для двух параллельных проводников (диаметр провода $D$, расстояние между осями $A$, длина участка $\ell$): $$

B(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x},

$$ $$

\Phi = 2\int_{D/2}^{A} B(x)\,\ell\,dx

= \frac{\mu_0 \ell I}{\pi} \ln\frac{2A}{D},

$$ $$

\boxed{L = \frac{\mu_0 \ell}{\pi}\ln\frac{2A}{D}.}

$$

Численная оценка. При $\ell = 10^3$ м, $A = 1$ м, $D = 2\cdot10^{-2}$ м: $$

L = \frac{4\pi \cdot 10^{-7}}{\pi} \cdot 10^3 \cdot \ln(100)

\approx 4\cdot10^{-4} \cdot 4{,}6 \approx 10^{-3}~Гн.

$$

Индуктивность кругового витка. Для витка радиуса $r$ из провода с радиусом поперечного сечения $r_0$: $$

L = \mu_0 r \left[\ln\frac{8r}{r_0} - \frac{7}{4}\right].

$$