Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 1): Часть 3

Видео

Конспект

Задача 3. Схема содержит два источника переменного напряжения с разными частотами $\omega_1$ и $\omega_2$: $$

u_1(t) = U_1 e^{i\omega_1 t}, \qquad u_2(t) = U_2 e^{i\omega_2 t}.

$$ Источники соединены через резисторы $R_1$ (у первого источника) и $R_2$ (у второго), а катушка индуктивности $L$ включена общим элементом. Найти максимальный ток через $L$.

Решение. Применяем принцип суперпозиции: находим вклад каждого источника в ток через индуктивность отдельно.

При работе первого источника индуктивность играет роль третьего элемента с импедансом $Z_L^{(1)} = i\omega_1 L$. По аналогии с делителем напряжения в цепи постоянного тока (с заменой $R \to Z$): $$

I_{L,1,\max} = \frac{U_1 R_2}{\sqrt{(R_1 R_2)^2 + \bigl(\omega_1 L(R_1 + R_2)\bigr)^2}}.

$$

При работе второго источника аналогично (с заменой $1 \leftrightarrow 2$ и $\omega_1 \to \omega_2$): $$

I_{L,2,\max} = \frac{U_2 R_1}{\sqrt{(R_1 R_2)^2 + \bigl(\omega_2 L(R_1 + R_2)\bigr)^2}}.

$$

Если $\omega_1/\omega_2$ — иррациональное число, то всегда найдётся момент времени, когда оба вклада одновременно достигают максимума. Полный максимальный ток: $$

\boxed{I_{L,\max} = I_{L,1,\max} + I_{L,2,\max}.}

$$

6. Эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки

Задача 4. Бесконечная периодическая цепочка из звеньев $Z_1$ (последовательно) и $Z_2$ (параллельно). Найти эквивалентный импеданс $Z_\mathrm{eq}$.

Решение. Из условия самоподобия: если убрать одно звено, оставшаяся цепочка имеет тот же импеданс $Z_\mathrm{eq}$. Следовательно: $$

Z_\mathrm{eq} = Z_1 + \frac{Z_2 \cdot Z_\mathrm{eq}}{Z_2 + Z_\mathrm{eq}}.

$$ Приводя к квадратному уравнению и завершая квадрат: $$

\left(Z_\mathrm{eq} - \frac{Z_1}{2}\right)^2 = Z_1 Z_2 + \left(\frac{Z_1}{2}\right)^2.

$$ Знак корня выбирается из условия $Z_\mathrm{eq} \to Z_1$ при $Z_2 \to 0$: $$

\boxed{Z_\mathrm{eq} = \frac{Z_1}{2} + \sqrt{Z_1 Z_2 + \left(\frac{Z_1}{2}\right)^2}.}

$$

Масштабируемая цепочка. Если каждое следующее звено отличается от предыдущего множителем $\alpha$ (т. е. $n$-е звено имеет элементы $\alpha^n Z_1$ и $\alpha^n Z_2$), то из аналогичного уравнения: $$

Z_\mathrm{eq} = Z_1 + \frac{Z_2 \cdot (\alpha Z_\mathrm{eq})}{Z_2 + \alpha Z_\mathrm{eq}},

$$ которое решается столь же прямолинейно; в ответ входит коэффициент $\alpha$.