Цепи переменного тока: импедансы, резонанс, кабели: Часть 1

Видео

Конспект

Семинар 4: Цепи переменного тока: импедансы, резонанс, кабели

1. Переменный ток. Основные понятия

В бытовой электросети напряжение является переменным: эффективное значение — 220 В, частота — 50 Гц. Мгновенное напряжение источника записывается в виде u(t) = u_0 \cos(\omega t + \varphi). Нагрузкой могут служить резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы, а также их комбинации.

2. Ток через идеальную индуктивность при включении

Рассмотрим цепь: идеальный источник переменного напряжения u_0\cos(\omega t+\varphi) подключён через ключ к идеальной катушке индуктивности L (сопротивление проводов равно нулю).

Уравнение цепи. Из закона Ома ( IR = 0 , R=0 ) и ЭДС самоиндукции \mathcal{E} = -L\dot{I} : \dot{I} = \frac{u_0}{L}\cos(\omega t + \varphi).

Решение с начальным условием I(0)=0 (ключ замкнут в момент t=0 при нулевом токе): I(t) = \frac{u_0}{\omega L}\bigl[\sin(\omega t + \varphi) - \sin\varphi\bigr]. Слагаемое -\tfrac{u_0}{\omega L}\sin\varphi является постоянной составляющей тока, определяемой начальной фазой \varphi .

Частные случаи:

\varphi = 0 : постоянная составляющая равна нулю, I(t) = \tfrac{u_0}{\omega L}\sin(\omega t) .

\varphi = \pi/2 : I(t) = \tfrac{u_0}{\omega L}\bigl[\sin(\omega t+\tfrac{\pi}{2})-1\bigr] — ток всегда неположительный.

\varphi = -\pi/2 : I(t) = \tfrac{u_0}{\omega L}\bigl[\sin(\omega t-\tfrac{\pi}{2})+1\bigr] — ток всегда неотрицательный.

3. Цепь с идеальным диодом и индуктивностью

К источнику u_0\cos(\omega t) через ключ подключена цепь из последовательно включённых идеального диода и идеальной индуктивности L .

Идеальный диод пропускает ток только в прямом направлении и не падает на нём напряжение; в обратном направлении ток не пропускает.

Анализ. Ключ замкнут в момент t_0 .

Если в момент замыкания напряжение отрицательно ( u(t_0)<0 ), диод закрыт до тех пор, пока u не станет положительным. С этого момента ток нарастает в течение полупериода, затем убывает до нуля (диод поддерживает положительный ток), после чего процесс повторяется периодически.

Если в момент замыкания напряжение положительно ( u(t_0)>0 ), ток немедленно начинает нарастать. Условие обращения тока в ноль определяется равенством площадей под графиком напряжения: \int_{t_0}^{t_1} u(t)\,dt = 0, где t_1 — момент, когда ток возвращается к нулю. Затем схема переходит в установившийся периодический режим.

4. Размыкание цепи R \| L

Резистор R и катушка индуктивности L включены параллельно и длительное время подключены к источнику u_0\cos(\omega t) . В установившемся режиме: I_R(t) = \frac{u_0}{R}\cos(\omega t), \qquad

I_L(t) = \frac{u_0}{\omega L}\sin(\omega t).

В момент t = t^* ключ размыкается. Поскольку ток через индуктивность не может измениться скачком, сразу после размыкания: I_R(t^{*+}) = -I_L(t^*). Знак меняется, потому что ток индуктивности теперь замыкается через резистор в обратном направлении. Дальнейшая динамика описывается уравнением \dot{I} + \frac{R}{L}\,I = 0, решение которого: I(t) = I_0\,e^{-Rt/L}, \quad I_0 = I_L(t^*). Токи через оба элемента убывают по одному и тому же экспоненциальному закону, различаясь лишь знаком.

Особый случай: если в момент размыкания I_L(t^*)=0 , то ток через резистор тут же обращается в ноль и дальнейшего переходного процесса нет.