Цепи переменного тока: импедансы, резонанс, кабели: Часть 3

Видео

Конспект

6. Резонанс в последовательной и параллельной $RLC$-цепях

Условие резонанса: $\omega^2 LC = 1$.

Последовательная цепь ($R$, $L$, $C$ включены последовательно): $$

Z_экв = R + i\omega L + \frac{1}{i\omega C} = R + i\!\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right).

$$ При выполнении условия резонанса мнимая часть обращается в нуль: $Z_экв = R$, и ток совпадает по фазе с напряжением: $$

i(t) = \frac{u_0}{R}\cos(\omega t).

$$

Параллельная цепь ($R$, $L$, $C$ включены параллельно): $$

\frac{1}{Z_экв} = \frac{1}{R} + \frac{1}{i\omega L} + i\omega C = \frac{1}{R} + i\!\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right).

$$ При резонансе мнимая часть также обнуляется: $Z_экв = R$, ток из источника тот же: $$

i(t) = \frac{u_0}{R}\cos(\omega t).

$$

Вывод: несмотря на принципиальное различие схем, при резонансе обе цепи ведут себя для источника одинаково — как чисто активное сопротивление $R$.

7. Смешанные цепи. Метод узловых потенциалов

7.1. Общий случай смешанного соединения

Для цепи, в которой $Z_1$ включён последовательно с параллельной парой $Z_2\|Z_3$, эквивалентный импеданс: $$

Z_экв = Z_1 + \frac{Z_2 Z_3}{Z_2 + Z_3}.

$$

7.2. Мостиковая схема. Метод узловых потенциалов

Для цепи с пятью импедансами $Z_1,\ldots,Z_5$, образующими мостик (два внешних узла с потенциалами $0$ и $U_вх = u_0 e^{i\omega t}$, два внутренних узла с неизвестными потенциалами $U_в$ и $U_н$), уравнения первого закона Кирхгофа для внутренних узлов записываются как:

Верхний узел: $$

\frac{U_в}{Z_2} + \frac{U_в - U_вх}{Z_1} + \frac{U_в - U_н}{Z_5} = 0.

$$

Нижний узел: $$

\frac{U_н}{Z_4} + \frac{U_н - U_вх}{Z_3} + \frac{U_н - U_в}{Z_5} = 0.

$$

Из двух линейных уравнений с двумя неизвестными находятся $U_в$ и $U_н$, после чего ток через $Z_5$: $$

I_5 = \frac{U_в - U_н}{Z_5}.

$$

Достоинство метода: количество уравнений равно числу независимых узловых потенциалов, что значительно меньше числа уравнений при контурном анализе.