Цепи переменного тока: импедансы, резонанс, кабели

===================================================================== 5. Комплексные импедансы. Метод комплексных амплитуд 5.1. Формула Эйлера и комплексные числа Разложение в ряд Тейлора функции $e^{ix}$ при $x_0=0$ даёт: $$ e^{ix} = \cos x + i\sin x \quad (формула Эйлера), $$ где $i^2 = -1$. Комплексное число $z = a + ib$ изображается точкой на комплексной плоскости; его полярное представление: $$ z = r\,e^{i\varphi}, \quad r = \sqrt{a^2+b^2},\quad \varphi = \arctan\!\tfrac{b}{a}. $$ Правила операций: $$\begin{aligned} z_1 + z_2 &= (a_1+a_2) + i(b_1+b_2), \\ z_1 \cdot z_2 &= r_1 r_2\,e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}, \\ z_1 / z_2 &= \tfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}. \end{aligned}$$ Умножение на $e^{i\pi/2} = i$ соответствует повороту вектора на $90^\circ$ против часовой стрелки. 5.2. Импедансы линейных элементов При гармоническом напряжении $u(t) = \operatorname{Re}\!\left[u_0\,e^{i\omega t}\right]$ ток через линейный элемент равен $$ i(t) = \operatorname{Re}\!\left[\frac{u_0\,e^{i\omega t}}{Z}\right], $$ где импеданс $Z$ задаётся следующим образом: Элемент Импеданс $Z$ Сдвиг фаз Резистор $R$ $R$ $0$ Катушка индуктивности $L$ $i\omega L$ $+\pi/2$ (ток отстаёт) Конденсатор $C$ $\dfrac{1}{i\omega C}$ $-\pi/2$ (ток опережает) 5.3. Правила соединения импедансов Последовательное соединение: $Z_экв = Z_1 + Z_2 + \cdots$ Параллельное соединение: $\dfrac{1}{Z_экв} = \dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \cdots$ Эти правила полностью аналогичны законам постоянного тока.