Цепи переменного тока: импедансы, резонанс, кабели: Часть 2

Видео

Конспект

=====================================================================

5. Комплексные импедансы. Метод комплексных амплитуд

5.1. Формула Эйлера и комплексные числа

Разложение в ряд Тейлора функции $e^{ix}$ при $x_0=0$ даёт: $$

e^{ix} = \cos x + i\sin x \quad (формула Эйлера),

$$ где $i^2 = -1$. Комплексное число $z = a + ib$ изображается точкой на комплексной плоскости; его полярное представление: $$

z = r\,e^{i\varphi}, \quad r = \sqrt{a^2+b^2},\quad \varphi = \arctan\!\tfrac{b}{a}.

$$

Правила операций: $$\begin{aligned}

z_1 + z_2 &= (a_1+a_2) + i(b_1+b_2), \\

z_1 \cdot z_2 &= r_1 r_2\,e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}, \\

z_1 / z_2 &= \tfrac{r_1}{r_2}\,e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}.

\end{aligned}$$ Умножение на $e^{i\pi/2} = i$ соответствует повороту вектора на $90^\circ$ против часовой стрелки.

5.2. Импедансы линейных элементов

При гармоническом напряжении $u(t) = \operatorname{Re}\!\left[u_0\,e^{i\omega t}\right]$ ток через линейный элемент равен $$

i(t) = \operatorname{Re}\!\left[\frac{u_0\,e^{i\omega t}}{Z}\right],

$$ где импеданс $Z$ задаётся следующим образом:

Элемент

Импеданс $Z$

Сдвиг фаз

Резистор $R$

$R$

$0$

Катушка индуктивности $L$

$i\omega L$

$+\pi/2$ (ток отстаёт)

Конденсатор $C$

$\dfrac{1}{i\omega C}$

$-\pi/2$ (ток опережает)

5.3. Правила соединения импедансов

Последовательное соединение: $Z_экв = Z_1 + Z_2 + \cdots$

Параллельное соединение: $\dfrac{1}{Z_экв} = \dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2} + \cdots$

Эти правила полностью аналогичны законам постоянного тока.