Цепи переменного тока: импедансы, резонанс, кабели: Часть 4

Видео

Конспект

7.3. Мостик с нулевым напряжением на ветви

Задача. Дана мостиковая схема. В каждое плечо включены последовательно $L_1$ и $C$ при условии $\omega L_1 = 1/(\omega C)$, то есть $\omega^2 L_1 C = 1$. Резисторы $R_1$ и $R_2$ подключены к узлам моста. Найти токи через резисторы.

Решение. Импеданс каждого последовательного участка $LC$: $$

Z_{LC} = i\omega L_1 + \frac{1}{i\omega C} = i\!\left(\omega L_1 - \frac{1}{\omega C}\right) = 0

$$ при выполнении условия резонанса. Нулевое сопротивление ветви означает, что потенциалы на её концах одинаковы. Следовательно, оба внутренних узла моста имеют один и тот же потенциал, что и соответствующие внешние точки. В результате:

Резистор $R_1$ подключён между двумя точками с одинаковым потенциалом $u_0\cos(\omega t)$, поэтому $I_1 = 0$.

Резистор $R_2$ подключён между двумя точками с одинаковым потенциалом $0$ («земля»), поэтому $I_2 = 0$.

Ответ: $I_1 = 0$, $I_2 = 0$.

Общий приём для мостиковых схем: если при заданной частоте импеданс плеча моста обращается в нуль ($\omega^2 LC = 1$ для последовательного $LC$), то разность потенциалов на связанных узлах равна нулю, и ток через соединительный элемент не течёт.

8. Метод векторных диаграмм для последовательной $RLC$-цепи

В последовательной цепи $R$, $L$, $C$ через все элементы течёт один и тот же ток $\vec{I}$. Напряжения на элементах: $$\begin{aligned}

\vec{U}_R &= R\,\vec{I} \quad (сонаправлен с \vec{I}), \\

\vec{U}_L &= i\omega L\,\vec{I} \quad (опережает \vec{I} на 90^\circ), \\

\vec{U}_C &= \frac{1}{i\omega C}\,\vec{I} \quad (отстаёт от \vec{I} на 90^\circ).

\end{aligned}$$ Суммарное напряжение $\vec{U}$ — векторная сумма трёх слагаемых. Фаза напряжения относительно тока и амплитуда определяются из этой диаграммы.

Для сложных разветвлённых схем метод векторных диаграмм становится трудоёмким; в таких случаях предпочтительнее метод узловых потенциалов с комплексными амплитудами.

9. Задача: нахождение ЭДС источника по векторной диаграмме

Задача. В последовательной цепи из резистора $R = 10$ Ом и неизвестного элемента $Z$ на векторной диаграмме в некоторый момент времени:

ток $I = 12$ А,

напряжение на элементе $Z$: $U_Z = 120$ В, угол между $\vec{U}_Z$ и $\vec{I}$ равен $60^\circ$.

Найти амплитуду ЭДС источника $u_0$.

Решение. Напряжение на резисторе: $$

U_R = IR = 12 \times 10 = 120~В.

$$ Вектор $\vec{U}_R$ сонаправлен с $\vec{I}$. Угол между $\vec{U}_Z$ и $\vec{U}_R$ равен $60^\circ$. Полное напряжение источника — векторная сумма $\vec{U}_R + \vec{U}_Z$.

Поскольку $|\vec{U}_R| = |\vec{U}_Z| = 120$ В, треугольник напряжений равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, а значит равносторонний в соответствующем смысле. Высота такого треугольника: $$

h = 120\sin 60^\circ = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3}~В.

$$ Амплитуда ЭДС равна удвоенной высоте: $$

u_0 = 2h = 120\sqrt{3} \approx 208~В.

$$

Ответ: $u_0 = 120\sqrt{3} \approx 208$ В.