Уравнения Максвелла и соленоид

Соленоид Описание задачи Длинный непроводящий цилиндр (диаметр $d$, длина $L$) с намотанной на него проволокой (число витков $N$, ток $I$). Выполняются условия: $$ d \ll L, \qquad \frac{L}{N} \ll d. $$ Материал цилиндра немагнитный ($\mu = 1$). Витки покрывают поверхность практически сплошь, разделены лишь тонкой изоляцией. Поле бесконечно длинного соленоида: метод теоремы о циркуляции Из соображений симметрии магнитное поле внутри однородного и направлено вдоль оси, снаружи — равно нулю. Выберем прямоугольный контур: сторона длиной $\ell$ внутри соленоида, сторона снаружи. Число витков на участке длиной $\ell$ равно $N\ell/L$. Теорема о циркуляции даёт: $$ B\,\ell = \mu_0 \frac{N}{L}\,\ell\,I \implies \boxed{B_0 = \mu_0 \frac{N}{L}\,I = \mu_0 n_{\!l}\,I}, $$ где $n_{\!l} = N/L$ — число витков на единицу длины. Поле бесконечно длинного соленоида: метод телесного угла Каждый малый участок поверхности соленоида рассматривается как плоский лист с поверхностной плотностью движущегося заряда $\sigma$. Поперечные составляющие магнитных полей от диаметрально противоположных участков компенсируются; остаётся только продольная составляющая. Поверхностная плотность заряда: $$ \sigma = \frac{S_{\mathrm{пр}}\,n_{\!e}\,e\,N}{L}, $$ где $S_{\mathrm{пр}}$ — сечение провода, $n_{\!e}$ — концентрация носителей, $e$ — заряд носителя. Суммируя по всей поверхности соленоида (телесный угол $\Omega = 4\pi$ для бесконечно длинного соленоида), получаем тот же результат: $$ B_0 = \frac{\mu_0\,I\,N}{L}. $$ Оба способа дают одинаковый ответ, что подтверждает согласованность метода. Поле на торце полубесконечного соленоида Представим бесконечный соленоид как два полубесконечных. Из соображений симметрии поток $\Phi_B = B_0\,\pi d^2/4$ приходит к точке разреза с каждой стороны. На торце образуется «магнитный заряд» (северный полюс с одной стороны, южный — с другой). Вклады от двух половин симметричны, поэтому поле на оси в точке торца полубесконечного соленоида: $$ B_{\mathrm{торец}} = \frac{B_0}{2}. $$ Поле вне соленоида вдоль оси На расстоянии $x \gg d$ вдоль оси от торца магнитный заряд торца создаёт поле, убывающее по закону Кулона: $$ B(x) \propto \frac{1}{x^2}. $$ Для произвольной точки на оси, расположенной вне соленоида, поле определяется как разность вкладов ближнего и дальнего торцов: $$ B(x) = \frac{B_0}{4\pi}\,(\Omega_1 - \Omega_2), $$ где $\Omega_1$ и $\Omega_2$ — телесные углы, под которыми из данной точки видны ближний и дальний торцы соответственно. Поле в центре соленоида конечной длины Из центра соленоида длины $L$ и диаметра $d$ торцы видны под телесным углом: $$ \Omega_{\mathrm{торец}} = \frac{\pi d^2/4}{(L/2)^2}. $$ Суммарная поправка от двух торцов: $$ \Delta\Omega = 2\cdot\frac{\pi d^2/4}{(L/2)^2} = \frac{2\pi d^2}{L^2}. $$ Поле в центре: $$ B_{\mathrm{центр}} = B_0\cdot\frac{4\pi - \Delta\Omega}{4\pi} = B_0\!\left(1 - \frac{d^2}{2L^2}\right). $$ Поле вблизи боковой поверхности (точка A) Точка $A$ расположена вне соленоида вблизи его середины, на расстоянии $d/2$ от оси. В этой точке: Продольная (вдоль оси) составляющая поля формируется за счёт полей двух торцевых «магнитных зарядов»: составляющие, перпендикулярные оси, взаимно компенсируются, продольные складываются. Поперечная составляющая обусловлена суммарным током $I$, текущим по соленоиду, и определяется как поле длинного провода с током $I$ на расстоянии $d/2$: $$ B_\perp \approx \frac{\mu_0 I}{2\pi\,(d/2)} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}. $$ В условиях задачи ($d \ll L$) поперечная составляющая значительно превосходит продольную.