Уравнения Максвелла и соленоид: Часть 4

Видео

Конспект

Соленоид

Описание задачи

Длинный непроводящий цилиндр (диаметр $d$, длина $L$) с намотанной на него проволокой (число витков $N$, ток $I$). Выполняются условия: $$

d \ll L, \qquad \frac{L}{N} \ll d.

$$ Материал цилиндра немагнитный ($\mu = 1$). Витки покрывают поверхность практически сплошь, разделены лишь тонкой изоляцией.

Поле бесконечно длинного соленоида: метод теоремы о циркуляции

Из соображений симметрии магнитное поле внутри однородного и направлено вдоль оси, снаружи — равно нулю. Выберем прямоугольный контур: сторона длиной $\ell$ внутри соленоида, сторона снаружи. Число витков на участке длиной $\ell$ равно $N\ell/L$. Теорема о циркуляции даёт: $$

B\,\ell = \mu_0 \frac{N}{L}\,\ell\,I

\implies

\boxed{B_0 = \mu_0 \frac{N}{L}\,I = \mu_0 n_{\!l}\,I},

$$ где $n_{\!l} = N/L$ — число витков на единицу длины.

Поле бесконечно длинного соленоида: метод телесного угла

Каждый малый участок поверхности соленоида рассматривается как плоский лист с поверхностной плотностью движущегося заряда $\sigma$. Поперечные составляющие магнитных полей от диаметрально противоположных участков компенсируются; остаётся только продольная составляющая. Поверхностная плотность заряда: $$

\sigma = \frac{S_{\mathrm{пр}}\,n_{\!e}\,e\,N}{L},

$$ где $S_{\mathrm{пр}}$ — сечение провода, $n_{\!e}$ — концентрация носителей, $e$ — заряд носителя.

Суммируя по всей поверхности соленоида (телесный угол $\Omega = 4\pi$ для бесконечно длинного соленоида), получаем тот же результат: $$

B_0 = \frac{\mu_0\,I\,N}{L}.

$$ Оба способа дают одинаковый ответ, что подтверждает согласованность метода.

Поле на торце полубесконечного соленоида

Представим бесконечный соленоид как два полубесконечных. Из соображений симметрии поток $\Phi_B = B_0\,\pi d^2/4$ приходит к точке разреза с каждой стороны. На торце образуется «магнитный заряд» (северный полюс с одной стороны, южный — с другой). Вклады от двух половин симметричны, поэтому поле на оси в точке торца полубесконечного соленоида: $$

B_{\mathrm{торец}} = \frac{B_0}{2}.

$$

Поле вне соленоида вдоль оси

На расстоянии $x \gg d$ вдоль оси от торца магнитный заряд торца создаёт поле, убывающее по закону Кулона: $$

B(x) \propto \frac{1}{x^2}.

$$ Для произвольной точки на оси, расположенной вне соленоида, поле определяется как разность вкладов ближнего и дальнего торцов: $$

B(x) = \frac{B_0}{4\pi}\,(\Omega_1 - \Omega_2),

$$ где $\Omega_1$ и $\Omega_2$ — телесные углы, под которыми из данной точки видны ближний и дальний торцы соответственно.

Поле в центре соленоида конечной длины

Из центра соленоида длины $L$ и диаметра $d$ торцы видны под телесным углом: $$

\Omega_{\mathrm{торец}} = \frac{\pi d^2/4}{(L/2)^2}.

$$ Суммарная поправка от двух торцов: $$

\Delta\Omega = 2\cdot\frac{\pi d^2/4}{(L/2)^2} = \frac{2\pi d^2}{L^2}.

$$ Поле в центре: $$

B_{\mathrm{центр}} = B_0\cdot\frac{4\pi - \Delta\Omega}{4\pi}

= B_0\!\left(1 - \frac{d^2}{2L^2}\right).

$$

Поле вблизи боковой поверхности (точка A)

Точка $A$ расположена вне соленоида вблизи его середины, на расстоянии $d/2$ от оси. В этой точке:

Продольная (вдоль оси) составляющая поля формируется за счёт полей двух торцевых «магнитных зарядов»: составляющие, перпендикулярные оси, взаимно компенсируются, продольные складываются.

Поперечная составляющая обусловлена суммарным током $I$, текущим по соленоиду, и определяется как поле длинного провода с током $I$ на расстоянии $d/2$: $$

B_\perp \approx \frac{\mu_0 I}{2\pi\,(d/2)} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}.

$$ В условиях задачи ($d \ll L$) поперечная составляющая значительно превосходит продольную.