Индуктивность и трансформатор

Трансформатор Устройство и принцип работы Трансформатор — устройство с одним замкнутым ферромагнитным сердечником (характеристики: сечение $S$, длина $\ell$, проницаемость $\mu$) и двумя обмотками: первичной с $n_1$ витками и вторичной с $n_2$ витками. К первичной обмотке подключают источник с ЭДС $\mathcal{E}$; сопротивление проводов обмоток принимается равным нулю. К вторичной обмотке подключают нагрузку. Трансформация напряжения Магнитный поток в сердечнике, созданный током $I_1$ первичной обмотки: $$ B = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1\, I_1}{\ell}, \qquad \Phi_1 = n_1 S B = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1^2 S}{\ell}\, I_1 = L_1 I_1. $$ Поскольку сопротивление первичной обмотки равно нулю, в первичном контуре: $$ \mathcal{E} = \frac{d\Phi_1}{dt} = L_1\,\frac{dI_1}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dI_1}{dt} = \frac{\mathcal{E}}{L_1}. $$ Тот же сердечник охватывается вторичной обмоткой. Магнитный поток через вторичную обмотку: $$ \Phi_2 = n_2 S B = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1 n_2 S}{\ell}\, I_1. $$ ЭДС на вторичной обмотке: $$ \mathcal{E}_2 = \frac{d\Phi_2}{dt} = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1 n_2 S}{\ell}\cdot\frac{dI_1}{dt} = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1 n_2 S}{\ell}\cdot\frac{\mathcal{E}}{L_1}. $$ Подставляя $L_1 = \mu_0\,\mu\, n_1^2 S / \ell$ и сокращая общие множители: $$ \boxed{\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}\,\frac{n_2}{n_1}}. $$ Таким образом, напряжение трансформируется пропорционально отношению чисел витков. Нагрузка и трансформация тока При подключении нагрузки $R_н$ во вторичную цепь ток в ней: $$ I_2 = \frac{\mathcal{E}_2}{R_н} = \frac{\mathcal{E}\, n_2}{n_1\, R_н}. $$ Мощность, выделяемая в нагрузке: $$ P_н = I_2^2\, R_н = \mathcal{E}_2\, I_2. $$ В идеальном трансформаторе (без потерь) мощность, потребляемая от источника, равна мощности в нагрузке: $$ \mathcal{E}\, I_1 = \mathcal{E}_2\, I_2, $$ откуда соотношение токов: $$ \frac{I_1}{I_2} = \frac{\mathcal{E}_2}{\mathcal{E}} = \frac{n_2}{n_1}. $$ Трансформация сопротивления С точки зрения первичной цепи нагрузка $R_н$ вторичной цепи выглядит как эквивалентное сопротивление $R_экв$: $$ \mathcal{E}\, I_1 = I_2^2\, R_н \quad\Longrightarrow\quad I_1^2\, R_экв = I_2^2\, R_н, $$ $$ \boxed{R_экв = R_н\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\!2}}. $$ Подбирая отношение $n_1/n_2$, можно согласовать сопротивление нагрузки с внутренним сопротивлением источника. Пример 1: Лампочка на $10\,В$, $100\,Вт$ питается от сети $200\,В$ через трансформатор. Найти эквивалентное сопротивление, которое «видит» первичная цепь. Решение: Сопротивление лампочки: $$ R_н = \frac{U_2^2}{P} = \frac{10^2}{100} = 1\,Ом. $$ Отношение витков: $$ \frac{n_1}{n_2} = \frac{U_1}{U_2} = \frac{200}{10} = 20. $$ Эквивалентное сопротивление для первичной цепи: $$ R_экв = R_н\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\!2} = 1 \times 20^2 = 400\,Ом. $$ Ответ: $R_экв = 400\,Ом$. Итог Трансформатор преобразует напряжение и ток при неизменной мощности (в идеальном случае). Одновременно трансформируется эффективное сопротивление нагрузки, что позволяет согласовывать характеристики источника и потребителя.