Индуктивность и трансформатор: Часть 2
Физика, 11 класс
Трансформатор Устройство и принцип работы Трансформатор — устройство с одним замкнутым ферромагнитным сердечником (характеристики: сечение $S$, длина $\ell$, проницаемость $\mu$) и двумя обмотками: пе...
Видео
Конспект
Трансформатор
Устройство и принцип работы
Трансформатор — устройство с одним замкнутым ферромагнитным сердечником (характеристики: сечение $S$, длина $\ell$, проницаемость $\mu$) и двумя обмотками: первичной с $n_1$ витками и вторичной с $n_2$ витками.
К первичной обмотке подключают источник с ЭДС $\mathcal{E}$; сопротивление проводов обмоток принимается равным нулю. К вторичной обмотке подключают нагрузку.
Трансформация напряжения
Магнитный поток в сердечнике, созданный током $I_1$ первичной обмотки: $$
B = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1\, I_1}{\ell},
\qquad
\Phi_1 = n_1 S B = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1^2 S}{\ell}\, I_1 = L_1 I_1.
$$
Поскольку сопротивление первичной обмотки равно нулю, в первичном контуре: $$
\mathcal{E} = \frac{d\Phi_1}{dt} = L_1\,\frac{dI_1}{dt}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dI_1}{dt} = \frac{\mathcal{E}}{L_1}.
$$
Тот же сердечник охватывается вторичной обмоткой. Магнитный поток через вторичную обмотку: $$
\Phi_2 = n_2 S B = \frac{\mu_0\,\mu\, n_1 n_2 S}{\ell}\, I_1.
$$
ЭДС на вторичной обмотке: $$
\mathcal{E}_2 = \frac{d\Phi_2}{dt}
= \frac{\mu_0\,\mu\, n_1 n_2 S}{\ell}\cdot\frac{dI_1}{dt}
= \frac{\mu_0\,\mu\, n_1 n_2 S}{\ell}\cdot\frac{\mathcal{E}}{L_1}.
$$
Подставляя $L_1 = \mu_0\,\mu\, n_1^2 S / \ell$ и сокращая общие множители: $$
\boxed{\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}\,\frac{n_2}{n_1}}.
$$
Таким образом, напряжение трансформируется пропорционально отношению чисел витков.
Нагрузка и трансформация тока
При подключении нагрузки $R_н$ во вторичную цепь ток в ней: $$
I_2 = \frac{\mathcal{E}_2}{R_н} = \frac{\mathcal{E}\, n_2}{n_1\, R_н}.
$$
Мощность, выделяемая в нагрузке: $$
P_н = I_2^2\, R_н = \mathcal{E}_2\, I_2.
$$
В идеальном трансформаторе (без потерь) мощность, потребляемая от источника, равна мощности в нагрузке: $$
\mathcal{E}\, I_1 = \mathcal{E}_2\, I_2,
$$ откуда соотношение токов: $$
\frac{I_1}{I_2} = \frac{\mathcal{E}_2}{\mathcal{E}} = \frac{n_2}{n_1}.
$$
Трансформация сопротивления
С точки зрения первичной цепи нагрузка $R_н$ вторичной цепи выглядит как эквивалентное сопротивление $R_экв$: $$
\mathcal{E}\, I_1 = I_2^2\, R_н
\quad\Longrightarrow\quad
I_1^2\, R_экв = I_2^2\, R_н,
$$ $$
\boxed{R_экв = R_н\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\!2}}.
$$
Подбирая отношение $n_1/n_2$, можно согласовать сопротивление нагрузки с внутренним сопротивлением источника.
Пример 1: Лампочка на $10\,В$, $100\,Вт$ питается от сети $200\,В$ через трансформатор. Найти эквивалентное сопротивление, которое «видит» первичная цепь.
Решение:
Сопротивление лампочки: $$
R_н = \frac{U_2^2}{P} = \frac{10^2}{100} = 1\,Ом.
$$
Отношение витков: $$
\frac{n_1}{n_2} = \frac{U_1}{U_2} = \frac{200}{10} = 20.
$$
Эквивалентное сопротивление для первичной цепи: $$
R_экв = R_н\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\!2} = 1 \times 20^2 = 400\,Ом.
$$
Ответ: $R_экв = 400\,Ом$.
Итог
Трансформатор преобразует напряжение и ток при неизменной мощности (в идеальном случае). Одновременно трансформируется эффективное сопротивление нагрузки, что позволяет согласовывать характеристики источника и потребителя.