Вычисление ЭДС в сложных контурах: Часть 3

Видео

Конспект

Контур из двух частей: провод с сопротивлением и сверхпроводник

Пример 7: Контур, состоящий из проводника с сопротивлением $R$ и сверхпроводника.

Решение: ЭДС электромагнитной индукции, создаваемая переменным полем соленоида (площадь $S_0$): $$

\mathcal{E} = \frac{S_0\, B_0}{\tau}.

$$ Вихревое электрическое поле одинаково по всему контуру. Однако в сверхпроводнике суммарное поле должно быть равно нулю (носители не испытывают трения). Это достигается за счёт перераспределения зарядов по поверхности сверхпроводника: возникает электростатическое поле, которое в точности компенсирует вихревое поле внутри сверхпроводника. На участке с сопротивлением $R$ оба поля (вихревое и электростатическое) складываются и обеспечивают движение носителей.

Ток в контуре: $$

I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{S_0\, B_0}{R\,\tau}.

$$

Ответ: $I = \dfrac{S_0 B_0}{R\tau}$. В сверхпроводящем участке суммарное электрическое поле равно нулю; в резистивном — равно $\mathcal{E}/(2\pi r)$ (циркуляция по длине участка).

Провод с разным удельным сопротивлением: распределение зарядов

В однородном проводнике с ненулевым удельным сопротивлением (например, нихромовый стержень в медной оболочке) потенциал меняется вдоль оси линейно. На поверхности проводника возникает распределение зарядов, создающее электростатическое поле с продольной и поперечной составляющими. Продольная составляющая электростатического поля гонит носители заряда вдоль проводника, обеспечивая протекание тока. Поперечная составляющая направлена от центрального проводника к оболочке (или наоборот, в зависимости от знака заряда).

Таким образом, в любом проводнике с током суммарная сила, действующая на носитель заряда, близка к нулю: электрическая сила (вихревая плюс электростатическая) уравновешивается силой трения о кристаллическую решётку. Именно сила трения обеспечивает выделение джоулева тепла.

Движущиеся перемычки в магнитном поле: закон сохранения импульса и диссипация

Пример 9: Две перемычки на параллельных направляющих в постоянном магнитном поле.

Два параллельных проводника (направляющие, трение отсутствует) расположены на расстоянии $L$ друг от друга. По ним скользят две перемычки с одинаковыми массами $M$ и одинаковыми сопротивлениями $R$. Магнитное поле $B_0 = \mathrm{const}$ направлено вертикально вверх (перпендикулярно плоскости движения).

Решение: Обозначим координаты перемычек $x_1(t)$ и $x_2(t)$, скорости $v = \dot{x}_1$, $u = \dot{x}_2$. Магнитный поток через контур: $$

\Phi = (x_2 - x_1)\,L\,B_0.

$$ ЭДС в контуре: $$

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = L\,B_0\,(v - u).

$$ Ток: $I = \mathcal{E}/R$.

Сила Ампера действует на каждую перемычку в противоположных направлениях и равна по модулю $F = I\,B_0\,L$. Суммарная сила на систему равна нулю, поэтому суммарный импульс системы сохраняется: $$

M v + M u = \mathrm{const}.

$$

Начальные условия: $v(0) = v_0 \neq 0$, $u(0) = 0$.

Ток течёт до тех пор, пока $v \neq u$. Когда скорости выравниваются, $\mathcal{E} = 0$ и ток прекращается. Из закона сохранения импульса: $$

v_{конечн} = u_{конечн} = \frac{v_0}{2}.

$$

Начальная кинетическая энергия системы: $$

T_0 = \frac{M v_0^2}{2}.

$$ Конечная кинетическая энергия: $$

T_{конечн} = 2 \cdot \frac{M}{2}\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 = \frac{M v_0^2}{4}.

$$ Выделившаяся теплота: $$

Q = T_0 - T_{конечн} = \frac{M v_0^2}{4}.

$$

Механизм диссипации. Магнитная составляющая силы Лоренца не совершает работы (она перпендикулярна скорости носителя). Скорость носителя в пространстве складывается из скорости перемычки как целого и скорости дрейфа относительно решётки. Сила Лоренца имеет составляющую вдоль провода, которая компенсируется силой трения о кристаллическую решётку. Именно эта сила трения, совершая отрицательную работу, и обеспечивает превращение механической энергии в теплоту.

Ответ: Конечная скорость каждой перемычки $v_0/2$; выделившаяся теплота $Q = M v_0^2/4$.