Формула Лармора, циклотронное излучение, ЭЛТ: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2: Циклотронное излучение протона в магнитном поле

Задача: Протон с зарядом $e$ и массой $m_p$ движется в однородном магнитном поле $B = 1$ Тл. Скорость протона $v = 0{,}1\,c$ (нерелятивистский режим, $v \ll c$). Найти:

время $t$, за которое протон излучает один квант электромагнитного излучения;

число оборотов $n$, совершаемых протоном за это время.

Дополнительно: оценить время, за которое скорость протона уменьшится вдвое вследствие циклотронного излучения.

Решение:

Движение по окружности. Магнитная составляющая силы Лоренца, действующая на протон: $$

\mathbf{F} = e\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}),

$$ направлена перпендикулярно скорости и играет роль центростремительной силы: $$

\frac{ev B}{m_p} = \frac{v^2}{R} \implies R = \frac{m_p v}{eB}.

$$

Циклотронная угловая частота не зависит от скорости и радиуса: $$

\omega = \frac{v}{R} = \frac{eB}{m_p}.

$$ Именно с этой частотой протон совершает обороты и излучает электромагнитные волны.

Мощность излучения (формула Лармора): $$

P = \frac{2ke^2 a^2}{3c^3}, \quad a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R.

$$

Энергия одного кванта с частотой $\omega$: $$

\varepsilon = \hbar\omega.

$$

а) Время излучения одного кванта: $$

P\cdot t = \hbar\omega \implies t = \frac{\hbar\omega}{P}.

$$

б) Число оборотов за время $t$: $$

n = \frac{\omega\,t}{2\pi}.

$$

Используемые константы: $$

e = 1{,}6\times10^{-19}\ Кл, \quad

\hbar \approx 10^{-34}\ Дж·с, \quad

c = 3\times10^{8}\ м/с, \quad

m_p \approx \frac{10^{-3}}{N_A} \approx \frac{1}{6}\times10^{-26}\ кг.

$$

При подстановке числовых значений получается: $$

n \approx 6{,}6\times10^{3} оборотов на один квант излучения.

$$

Таким образом, протон совершает тысячи оборотов, прежде чем излучить один квант; классическое излучение крайне слабо.

Время уменьшения скорости вдвое. Запишем уравнение баланса энергии. Поскольку $v = \omega R$, кинетическая энергия: $$

\mathcal{E}_k = \frac{m_p v^2}{2} = \frac{m_p \omega^2 R^2}{2}.

$$ Мощность излучения: $$

P = \frac{2ke^2}{3c^3}\,\omega^4 R^2.

$$ Обозначим $A = \dfrac{2ke^2}{3c^3}$. Тогда уравнение убыли кинетической энергии: $$

\frac{d}{dt}\!\left(\frac{m_p\omega^2 R^2}{2}\right) = -A\omega^4 R^2.

$$ Поскольку $\omega = eB/m_p = \mathrm{const}$, меняется только $R^2$. Вводя $x = R^2$ и $\lambda = \dfrac{2A\omega^2}{m_p}$, получим: $$

\dot{x} = -\lambda\,x.

$$ Решение — экспоненциальный закон: $$

R^2(t) = R_0^2\,e^{-\lambda t}, \quad v^2(t) = v_0^2\,e^{-\lambda t}.

$$ Скорость уменьшается вдвое ($v = v_0/2$, то есть $v^2 = v_0^2/4$) за время: $$

t_{1/2} = \frac{\ln 4}{\lambda} = \frac{m_p \ln 4}{2A\omega^2}.

$$

Численные вычисления с заданными параметрами ($B = 1$ Тл, $v = 0{,}1\,c$) оставляются читателю.

Ответ:

Число оборотов до излучения одного кванта: $n \approx 6{,}6\times10^3$.

Квадрат скорости (и квадрат радиуса) убывает по экспоненте: $v^2(t) = v_0^2\,e^{-\lambda t}$, где $\lambda = \dfrac{4ke^2\omega^2}{3m_p c^3}$.

Задача 3: Разность потенциалов между кончиками крыльев самолёта, летящего над Северным полюсом

Задача: Самолёт из проводящего материала (дюралюминий) летит над Северным полюсом Земли со скоростью $v = 300$ м/с. Размах крыльев $\ell = 40$ м. Магнитное поле Земли у полюса направлено вертикально вниз и равно $B = 60\;\muТл = 6\times10^{-5}$ Тл. Найти разность потенциалов между кончиками крыльев.

Решение:

Поскольку самолёт проводящий, свободные заряды двигаются вместе с ним. На положительный заряд $q$ действует магнитная составляющая силы Лоренца: $$

\mathbf{F}_маг = q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).

$$ При скорости самолёта, направленной вправо, и поле $\mathbf{B}$, направленном вниз, сила $\mathbf{F}_маг$ толкает положительные заряды к левому крылу. Заряды перераспределяются до тех пор, пока возникшее электрическое поле $\mathbf{E}$ не скомпенсирует магнитную силу: $$

q\mathbf{E} + q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) = 0 \implies E = vB.

$$

Разность потенциалов между кончиками крыльев: $$

\Delta\varphi = E\cdot\ell = v\,B\,\ell.

$$

Подставляем числа: $$

\Delta\varphi = 300\ \frac{м}{с} \times 6\times10^{-5}\ Тл \times 40\ м = 0{,}72\ В.

$$

Левое крыло заряжается положительно, правое — отрицательно (при взгляде на самолёт сверху и движении вправо над северным полюсом).

Ответ: $\Delta\varphi = 0{,}72$ В. Разность потенциалов невелика, однако при значительно большей скорости или в более сильном поле она была бы заметной.