ЭМИ, вихревое поле, сила Ампера

Задача 5. Скорость электрона в изменяющемся поле соленоида Условие. На расстоянии $x$ от оси длинного соленоида покоится электрон (заряд $-e$, масса $m$). Поле соленоида за малое время $\Delta t$ нарастает от $B$ до $2B$. Найти скорость и направление движения электрона после изменения поля. Указать, при каком условии на $\Delta t$ найденное направление скорости остаётся справедливым. Решение. Вихревое электрическое поле. По закону Фарадея, на окружности радиуса $x$ (соосной с соленоидом): $$ 2\pi x \cdot E = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -\frac{\pi x^2 \cdot \Delta B}{\Delta t}, $$ где $\Delta B = B$ (поле выросло на $B$). Отсюда: $$ E = -\frac{Bx}{2\Delta t}. $$ Знак «минус» означает, что электрическое поле направлено против выбранного направления обхода (против направления нарастания тока). Сила на электрон (заряд $-e$) направлена по направлению обхода, т. е. по касательной к окружности. Скорость от вихревого поля. Ускорение электрона: $$ a = \frac{eE}{m} = \frac{eBx}{2m\Delta t}. $$ Скорость, приобретённая за время $\Delta t$: $$ v = a\cdot\Delta t = \frac{eBx}{2m}. $$ Примечательно, что $\Delta t$ сокращается: конечная скорость не зависит от длительности изменения поля. Дополнительная скорость от магнитной силы Лоренца. Пока электрон движется по касательной со средней скоростью $\bar{v} \approx v/2$, на него действует магнитная сила (среднее поле $\approx 1{,}5B$), сообщающая дополнительную скорость: $$ \delta v \sim \frac{e \cdot 1{,}5B \cdot (v/2)}{m}\cdot\Delta t = \frac{3}{8}\cdot\frac{e B x}{m}\cdot\frac{e B}{m}\cdot\Delta t. $$ Эта добавка направлена к оси соленоида. Условие применимости. Чтобы направление скорости оставалось касательным (добавка от магнитной силы мала): $$ \delta v \ll v \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{8}\cdot\frac{eB}{m}\cdot\Delta t \ll 1 \quad\Longrightarrow\quad \Delta t \ll \frac{8m}{3eB}. $$ Ответ: $$ \boxed{v = \frac{eBx}{2m},} $$ направление — по касательной к окружности радиуса $x$ вокруг оси соленоида (в сторону, определяемую правилом Ленца для отрицательного заряда). Условие применимости: $\Delta t \ll \dfrac{8m}{3eB}$. Задача 6. Мощности в полукольцах разного материала; ток для левитации витка Часть А. Тепловые мощности в двух полукольцах Условие. Кольцо радиуса $r$ составлено из двух полуокружностей с одинаковым сечением $S$, но разными удельными сопротивлениями $\rho_в$ и $\rho_н$. В однородном магнитном поле $B(t) = B_0 t/\tau$, направленном перпендикулярно плоскости кольца, определить тепловые мощности $P_в$ и $P_н$, выделяемые в верхнем и нижнем полукольцах. Решение. Магнитный поток через кольцо: $$ \Phi = \pi r^2 B(t) = \frac{\pi r^2 B_0}{\tau}\,t. $$ ЭДС электромагнитной индукции: $$ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{\pi r^2 B_0}{\tau}. $$ Полукольца включены последовательно. Сопротивления: длина каждого $\ell = \pi r$, поэтому $$ R_в = \frac{\rho_в\,\pi r}{S}, \qquad R_н = \frac{\rho_н\,\pi r}{S}. $$ Ток в кольце: $$ I = \frac{|\mathcal{E}|}{R_в+R_н} = \frac{\pi r^2 B_0/\tau}{\pi r(\rho_в+\rho_н)/S} = \frac{r B_0 S}{\tau(\rho_в+\rho_н)}. $$ Ответ: $$ \boxed{P_в = I^2 R_в = \frac{r^2 B_0^2 S^2}{\tau^2(\rho_в+\rho_н)^2}\cdot\frac{\rho_в\,\pi r}{S}, \qquad P_н = I^2 R_н = \frac{r^2 B_0^2 S^2}{\tau^2(\rho_в+\rho_н)^2}\cdot\frac{\rho_н\,\pi r}{S}.} $$ Мощности относятся как удельные сопротивления: $P_в/P_н = \rho_в/\rho_н$. Часть Б. Ток для левитации витка Условие. Над горизонтальной поверхностью на высоте $d \ll R$ закреплён виток радиуса $R$ с током $I_1$. На поверхности лежит виток той же формы и радиуса, массы $m$. Найти ток $I_2$, который нужно пропустить по нижнему витку, чтобы он перестал давить на опору. Решение. Участок верхнего витка на расстоянии $d$ создаёт в месте расположения нижнего витка магнитное поле (теорема о циркуляции, считая участок длинным прямым проводом): $$ B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}. $$ На нижний виток (длина $2\pi R$, ток $I_2$) действует суммарная сила Ампера. Чтобы токи притягивались (витки должны притягиваться), нужно, чтобы токи текли в одном направлении (в параллельных участках). Тогда сила направлена вверх: $$ F = 2\pi R \cdot I_2 \cdot B_1 = 2\pi R \cdot I_2 \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 R}{d}. $$ Условие левитации: $F = mg$: $$ \frac{\mu_0 I_1 I_2 R}{d} = mg. $$ Ответ: $$ \boxed{I_2 = \frac{mgd}{\mu_0 I_1 R}.} $$ Физическая демонстрация. Аналогичный эффект — самосжатие спирали с током — наблюдается в следующем опыте: конец подвешенной спирали касается чаши с ртутью, замыкая цепь. При протекании тока витки притягиваются друг к другу, спираль сжимается и отрывается от поверхности ртути, цепь размыкается. Затем спираль снова опускается — возникают периодические колебания. Задача 7. Вращение заряженного кольца; заряд через рамку при перемещении Часть А. Угловая скорость заряженного кольца Условие. На гладкой горизонтальной поверхности лежит тонкое непроводящее кольцо радиуса $R$, массы $m$, с равномерно распределённым зарядом $Q$. Вертикальное однородное магнитное поле нарастает от $0$ до $B$. Н...