ЭМИ, вихревое поле, сила Ампера: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 5. Скорость электрона в изменяющемся поле соленоида

Условие. На расстоянии $x$ от оси длинного соленоида покоится электрон (заряд $-e$, масса $m$). Поле соленоида за малое время $\Delta t$ нарастает от $B$ до $2B$. Найти скорость и направление движения электрона после изменения поля. Указать, при каком условии на $\Delta t$ найденное направление скорости остаётся справедливым.

Решение.

Вихревое электрическое поле. По закону Фарадея, на окружности радиуса $x$ (соосной с соленоидом): $$

2\pi x \cdot E = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -\frac{\pi x^2 \cdot \Delta B}{\Delta t},

$$ где $\Delta B = B$ (поле выросло на $B$). Отсюда: $$

E = -\frac{Bx}{2\Delta t}.

$$ Знак «минус» означает, что электрическое поле направлено против выбранного направления обхода (против направления нарастания тока). Сила на электрон (заряд $-e$) направлена по направлению обхода, т. е. по касательной к окружности.

Скорость от вихревого поля. Ускорение электрона: $$

a = \frac{eE}{m} = \frac{eBx}{2m\Delta t}.

$$ Скорость, приобретённая за время $\Delta t$: $$

v = a\cdot\Delta t = \frac{eBx}{2m}.

$$

Примечательно, что $\Delta t$ сокращается: конечная скорость не зависит от длительности изменения поля.

Дополнительная скорость от магнитной силы Лоренца. Пока электрон движется по касательной со средней скоростью $\bar{v} \approx v/2$, на него действует магнитная сила (среднее поле $\approx 1{,}5B$), сообщающая дополнительную скорость: $$

\delta v \sim \frac{e \cdot 1{,}5B \cdot (v/2)}{m}\cdot\Delta t = \frac{3}{8}\cdot\frac{e B x}{m}\cdot\frac{e B}{m}\cdot\Delta t.

$$ Эта добавка направлена к оси соленоида.

Условие применимости. Чтобы направление скорости оставалось касательным (добавка от магнитной силы мала): $$

\delta v \ll v \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{8}\cdot\frac{eB}{m}\cdot\Delta t \ll 1 \quad\Longrightarrow\quad \Delta t \ll \frac{8m}{3eB}.

$$

Ответ: $$

\boxed{v = \frac{eBx}{2m},}

$$ направление — по касательной к окружности радиуса $x$ вокруг оси соленоида (в сторону, определяемую правилом Ленца для отрицательного заряда). Условие применимости: $\Delta t \ll \dfrac{8m}{3eB}$.

Задача 6. Мощности в полукольцах разного материала; ток для левитации витка

Часть А. Тепловые мощности в двух полукольцах

Условие. Кольцо радиуса $r$ составлено из двух полуокружностей с одинаковым сечением $S$, но разными удельными сопротивлениями $\rho_в$ и $\rho_н$. В однородном магнитном поле $B(t) = B_0 t/\tau$, направленном перпендикулярно плоскости кольца, определить тепловые мощности $P_в$ и $P_н$, выделяемые в верхнем и нижнем полукольцах.

Решение.

Магнитный поток через кольцо: $$

\Phi = \pi r^2 B(t) = \frac{\pi r^2 B_0}{\tau}\,t.

$$

ЭДС электромагнитной индукции: $$

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{\pi r^2 B_0}{\tau}.

$$

Полукольца включены последовательно. Сопротивления: длина каждого $\ell = \pi r$, поэтому $$

R_в = \frac{\rho_в\,\pi r}{S}, \qquad R_н = \frac{\rho_н\,\pi r}{S}.

$$

Ток в кольце: $$

I = \frac{|\mathcal{E}|}{R_в+R_н} = \frac{\pi r^2 B_0/\tau}{\pi r(\rho_в+\rho_н)/S} = \frac{r B_0 S}{\tau(\rho_в+\rho_н)}.

$$

Ответ: $$

\boxed{P_в = I^2 R_в = \frac{r^2 B_0^2 S^2}{\tau^2(\rho_в+\rho_н)^2}\cdot\frac{\rho_в\,\pi r}{S},

\qquad

P_н = I^2 R_н = \frac{r^2 B_0^2 S^2}{\tau^2(\rho_в+\rho_н)^2}\cdot\frac{\rho_н\,\pi r}{S}.}

$$ Мощности относятся как удельные сопротивления: $P_в/P_н = \rho_в/\rho_н$.

Часть Б. Ток для левитации витка

Условие. Над горизонтальной поверхностью на высоте $d \ll R$ закреплён виток радиуса $R$ с током $I_1$. На поверхности лежит виток той же формы и радиуса, массы $m$. Найти ток $I_2$, который нужно пропустить по нижнему витку, чтобы он перестал давить на опору.

Решение.

Участок верхнего витка на расстоянии $d$ создаёт в месте расположения нижнего витка магнитное поле (теорема о циркуляции, считая участок длинным прямым проводом): $$

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}.

$$

На нижний виток (длина $2\pi R$, ток $I_2$) действует суммарная сила Ампера. Чтобы токи притягивались (витки должны притягиваться), нужно, чтобы токи текли в одном направлении (в параллельных участках). Тогда сила направлена вверх: $$

F = 2\pi R \cdot I_2 \cdot B_1 = 2\pi R \cdot I_2 \cdot \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 R}{d}.

$$

Условие левитации: $F = mg$: $$

\frac{\mu_0 I_1 I_2 R}{d} = mg.

$$

Ответ: $$

\boxed{I_2 = \frac{mgd}{\mu_0 I_1 R}.}

$$

Физическая демонстрация. Аналогичный эффект — самосжатие спирали с током — наблюдается в следующем опыте: конец подвешенной спирали касается чаши с ртутью, замыкая цепь. При протекании тока витки притягиваются друг к другу, спираль сжимается и отрывается от поверхности ртути, цепь размыкается. Затем спираль снова опускается — возникают периодические колебания.

Задача 7. Вращение заряженного кольца; заряд через рамку при перемещении

Часть А. Угловая скорость заряженного кольца

Условие. На гладкой горизонтальной поверхности лежит тонкое непроводящее кольцо радиуса $R$, массы $m$, с равномерно распределённым зарядом $Q$. Вертикальное однородное магнитное поле нарастает от $0$ до $B$. Найти угловую скорость, которую приобретёт кольцо.

Решение.

Нарастающее поле создаёт вихревое электрическое поле по касательной к кольцу. По закону Фарадея: $$

2\pi R \cdot E = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -\frac{\pi R^2 B}{\Delta t}.

$$ Откуда: $$

E = -\frac{RB}{2\Delta t}.

$$

Момент сил, действующих на кольцо (по модулю): $$

M = Q \cdot E \cdot R = \frac{QBR^2}{2\Delta t}.

$$

Момент импульса, полученный кольцом за время $\Delta t$: $$

L = M \cdot \Delta t = \frac{QBR^2}{2}.

$$ Время $\Delta t$ сокращается — результат не зависит от скорости нарастания поля.

Момент инерции тонкого кольца: $J = mR^2$.

Угловая скорость: $$

J\omega = L \quad\Longrightarrow\quad mR^2\omega = \frac{QBR^2}{2}.

$$

Ответ: $$

\boxed{\omega = \frac{QB}{2m}.}

$$ Результат не зависит от радиуса кольца $R$.

Часть Б. Заряд через рамку при поступательном и вращательном перемещениях

Условие. Вблизи длинного прямого провода с постоянным током $I$ находится рамка сопротивлением $R$. Рамку переводят из начального положения в конечное двумя способами: (1) поступательным смещением; (2) поворотом вокруг стороны, ближней к проводу. В обоих случаях конечное положение рамки одинаково. Сравнить заряды $Q_пост$ и $Q_вращ$, прошедшие через рамку.

Решение.

Заряд, прошедший через рамку, определяется изменением магнитного потока: $$

Q = \frac{|\Delta\Phi|}{R}.

$$ Это соотношение не зависит от времени перемещения.

Обозначим поток через рамку в начальном положении $\Phi_1$, в конечном — $\Phi_2$ (поток при поступательном смещении). При повороте вокруг ближней стороны конечный поток равен $-\Phi_2$ (рамка «перевернулась» относительно провода, нормаль изменила знак).

Поступательное смещение: $$

|\Delta\Phi_пост| = |\Phi_2 - \Phi_1|.

$$

Вращательное смещение: $$

|\Delta\Phi_вращ| = |-\Phi_2 - \Phi_1| = \Phi_1 + \Phi_2.

$$

Так как $\Phi_1 > 0$ и $\Phi_2 > 0$: $$

\Phi_1 + \Phi_2 > |\Phi_2 - \Phi_1|.

$$

Ответ: $$

\boxed{Q_вращ > Q_пост.}

$$ При повороте рамки заряд, прошедший через рамку, больше, чем при поступательном перемещении в то же конечное положение.