Энергия электромагнитного поля

4. Плотность энергии электрического поля Мысленный эксперимент. Две незаряженные пластины с зарядами $+Q$ и $-Q$, площадью $S$ каждая, расположены вплотную; затем медленно раздвигаются на расстояние $D \ll \sqrt{S}$. Поле положительной пластины: $$ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},\qquad \sigma = \frac{Q}{S}. $$ Поле между пластинами (вклады обеих пластин складываются): $$ E_вн = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}. $$ Сила притяжения: $$ F = Q\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}. $$ Работа внешней силы при раздвижении пластин: $$ A = F\cdot D = \frac{Q^2\,D}{2\varepsilon_0 S}. $$ Выразим через поле: $Q^2 = E_вн^2\,\varepsilon_0^2\,S^2$, поэтому $$ A = \frac{\varepsilon_0}{2}\,E_вн^2\cdot S\,D = w_E\cdot V, $$ где $V = S\,D$ — объём, занятый полем. Следовательно, плотность энергии электрического поля : $$ \boxed{w_E = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}}{2}}. $$ Это подтверждает формулу для давления: $P_E = -w_E$. 5. Граничные условия для магнитного поля На поверхности раздела движутся заряды: $\sigma_-$ покоятся ($v = 0$), $\sigma_+$ движутся со скоростью $v$. Нормальная составляющая. Из теоремы Гаусса ($\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0$, магнитных монополей нет): $$ \boxed{B_{\perp,лев} = B_{\perp,пр}}. $$ Тангенциальная составляющая. Ток через контур шириной $L$: $I = v\,L\,\sigma_+$. Из теоремы о циркуляции $\mathbf{B}$ (ток смещения $\to 0$ при $L\to 0$): $$ B_{\tau,пр}\,L - B_{\tau,лев}\,L = \mu_0\,v\,L\,\sigma_+, $$ $$ \boxed{B_{\tau,пр} - B_{\tau,лев} = \mu_0\,v\,\sigma_+}. $$ Давление магнитного поля Аналогично электрическому случаю, нормальная составляющая силы, действующей на участок поверхности с поверхностным током, определяется разностью давлений магнитного поля по обе стороны: $$ P_B = +\frac{B\,H}{2} = +\frac{B^2}{2\mu_0}. $$ Знак «плюс» (в отличие от электрического поля) означает: давление магнитного поля равно взятой со знаком плюс плотности энергии магнитного поля.