Энергия электромагнитного поля: Часть 4

Видео

Конспект

6. Плотность энергии магнитного поля

Мысленный эксперимент. Длинный соленоид ($L \gg \sqrt{S}$) с $n$ витками на единицу длины и током $I$ (замкнут в тороид для устранения краевых эффектов).

Поле внутри: $$

B = \mu_0\,n\,I,\qquad n = \frac{N}{L}.

$$

Полный магнитный поток через все витки: $$

\Phi = B\,S\,N = \mu_0\,\frac{N^2}{L}\,S\,I.

$$

Индуктивность соленоида: $$

\mathcal{L} = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_0\,N^2\,S}{L}.

$$

При нулевом сопротивлении провода ЭДС батареи уравновешивает ЭДС самоиндукции, откуда скорость нарастания тока постоянна: $$

\frac{dI}{dt} = \frac{\mathcal{E}}{\mathcal{L}} = const.

$$

Ток нарастает линейно: $I(t) = \dfrac{\mathcal{E}}{\mathcal{L}}\,t$. Заряд, прошедший через батарею за время $t$: $$

Q = \int_0^t I\,dt' = \frac{\mathcal{E}}{2\mathcal{L}}\,t^2.

$$

Работа батареи (равная энергии магнитного поля): $$

W = \mathcal{E}\,Q = \frac{\mathcal{E}^2\,t^2}{2\mathcal{L}} = \frac{\mathcal{L}\,I^2}{2}.

$$

Подставляя $\mathcal{L} = \mu_0 N^2 S / L$ и $B = \mu_0 N I / L$: $$

W = \frac{1}{2}\,\frac{B^2}{\mu_0}\,S\,L = w_B\cdot V,

$$ где $V = S\,L$ — объём соленоида. Следовательно, плотность энергии магнитного поля: $$

\boxed{w_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{B\,H}{2} = \frac{\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}}{2}}.

$$

Это совпадает с выражением для давления магнитного поля: $P_B = +w_B$.

Итог. Давление, создаваемое электромагнитным полем на поверхность раздела, равно разности плотностей энергии поля по обе стороны: $$

P = P_B - P_E = \frac{\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}}{2} + \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}

$$ (электрическое поле «втягивает» поверхность — отрицательное давление, магнитное «выталкивает» — положительное).