Электромагнитные волны (эксперимент Фейнмана): Часть 2

Видео

Конспект

Равенство плотностей энергии и формула $\mu_0\varepsilon_0 c^2 = 1$

Плотность энергии электрического и магнитного полей: $$

w_E = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}, \qquad w_B = \frac{B^2}{2\mu_0}.

$$ В данном эксперименте они равны друг другу. Из условия баланса энергии (мощность внешней силы равна скорости накопления энергии поля в расширяющемся объёме) вытекает фундаментальное соотношение: $$

\boxed{\mu_0\,\varepsilon_0\,c^2 = 1.}

$$ Это означает, что скорость распространения электромагнитных волн определяется электрической и магнитной константами вакуума: $$

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}}.

$$

Рождение магнитного поля изменяющимся электрическим полем

Выберем замкнутый контур в плоскости, перпендикулярной оси $z$, вдали от пластины (без захвата зарядов). Ток через поверхность контура равен нулю, однако в области поля присутствует изменяющийся поток вектора электрического смещения $\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}$. По теореме о циркуляции $\mathbf{B}$: $$

\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{r} = \mu_0\,\frac{d}{dt}\int \varepsilon_0\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.

$$ Для участка длиной $L$, граница поля которого за $\Delta t$ смещается на $c\,\Delta t$: $$

B\,L = \mu_0\,\varepsilon_0\,c\,E\,L.

$$ Подставляя $E = Bc$: $$

B = \mu_0\,\varepsilon_0\,c^2\,B,

$$ что снова подтверждает $\mu_0\varepsilon_0 c^2 = 1$. Таким образом, магнитное поле рождается не только вблизи пластины, но и на любом удалении от неё за счёт изменяющегося электрического поля — без участия зарядов.

Вектор Умова–Пойнтинга

Поток энергии через площадку $S$ определяется векторным произведением напряжённостей электрического и магнитного полей: $$

\mathbf{S}_П = \mathbf{E} \times \mathbf{H},

$$ $$

P = |\mathbf{S}_П|\cdot S = E\,H\cdot S.

$$ Вектор $\mathbf{S}_П$ носит название вектора Умова–Пойнтинга (Умов ввёл аналогичный вектор для потоков энергии в механике, Пойнтинг распространил идею на электромагнитное поле). Он указывает направление и плотность переноса энергии электромагнитного поля в каждой точке пространства.

Импульс электромагнитного поля

Электромагнитное поле переносит не только энергию, но и импульс. Плотность потока импульса связана с вектором Пойнтинга соотношением: $$

\mathbf{p} = \frac{\mathbf{S}_П}{c^2} = \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{H}}{c^2}.

$$ Направление переносимого импульса совпадает с направлением распространения электромагнитной волны, а его величина: $$

p = \frac{W}{c},

$$ где $W$ — переносимая энергия.

Итог

Мысленный эксперимент Фейнмана показывает, что электромагнитное поле является самостоятельным объектом: изменяющееся магнитное поле порождает электрическое, изменяющееся электрическое — магнитное, и эта связанная структура распространяется в пространстве со скоростью $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$, перенося энергию (вектор Умова–Пойнтинга $\mathbf{E}\times\mathbf{H}$) и импульс ($p = W/c$).

к