Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 2)

Задача 4. Колебания сверхпроводящего кольца на нити во внешнем поле Условие. Сверхпроводящее кольцо массой $M$, радиуса $R$ (радиус проволоки $r \ll R$) подвешено на тонкой нерастяжимой нити в однородном магнитном поле $B_0$, направленном параллельно плоскости кольца. В начальный момент поток через кольцо равен нулю. Кольцо отклоняют на малый угол $\varphi_0 \ll 1$ вокруг оси нити и отпускают. Найти закон изменения угла отклонения со временем. Решение. После поворота на угол $\varphi$ внешний поток через кольцо (с учётом малости угла): $$ \Phi_внеш = B_0\,\pi R^2\,\sin\varphi \approx B_0\,\pi R^2\,\varphi. $$ Из условия сохранения полного потока ($L\,I + \Phi_внеш = 0$): $$ I = -\frac{B_0\,\pi R^2\,\varphi}{L}. $$ Магнитный момент кольца: $\boldsymbol{\mu} = I\,\pi R^2$. Возвращающий момент сил со стороны поля ($\cos\varphi \approx 1$): $$ M_возвр = -I\,\pi R^2\,B_0 = \frac{\pi^2 R^4 B_0^2}{L}\,\varphi. $$ Момент инерции кольца относительно диаметральной оси (ось нити): $$ J = \frac{MR^2}{2}. $$ Уравнение движения: $$ J\,\ddot{\varphi} = -\frac{\pi^2 R^4 B_0^2}{L}\,\varphi \implies \ddot{\varphi} + \frac{2\pi^2 R^2 B_0^2}{L\,M}\,\varphi = 0. $$ Это уравнение гармонических колебаний с угловой частотой: $$ \Omega^2 = \frac{2\pi^2 R^2 B_0^2}{L\,M}, \qquad L = \mu_0\,R\!\left(\ln\frac{8R}{r} - \frac{7}{4}\right). $$ Ответ: $$ \boxed{\varphi(t) = \varphi_0\cos(\Omega t), \qquad \Omega = \pi B_0 R\sqrt{\frac{2}{L\,M}}.} $$ Положение равновесия — плоскость кольца параллельна вектору $\mathbf{B}_0$. Задача 5. Сверхпроводящее кольцо в неоднородном поле (горизонтальная плоскость) Условие. На гладкой горизонтальной поверхности лежит сверхпроводящее кольцо (масса $M$, радиус $R$, площадь $S = \pi R^2$, индуктивность $L$). Вертикальная составляющая поля нарастает линейно с координатой: $$ B_y(x) = \frac{B_0\,x}{d}, \quad x \geq 0; \qquad B_y = 0, \quad x Решение. Поскольку кольцо сверхпроводящее, его суммарный поток равен нулю. На расстоянии $x$ от границы ток в кольце: $$ I(x) = \frac{B_y(x)\,S}{L} = \frac{B_0\,x\,S}{d\,L}. $$ Сила, выталкивающая кольцо (аналог задачи о кольце в неоднородном поле, см. ниже): $$ F = I(x)\cdot S\cdot\frac{dB_y}{dx} = \frac{B_0\,x\,S}{d\,L}\cdot S\cdot\frac{B_0}{d} = \frac{S^2 B_0^2}{d^2 L}\,x. $$ Уравнение движения (сила направлена против $x$): $$ M\ddot{x} = -\frac{S^2 B_0^2}{d^2 L}\,x \implies \ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0, \qquad \omega_0^2 = \frac{S^2 B_0^2}{M\,d^2\,L}. $$ Кольцо совершает половину периода гармонических колебаний, после чего покидает область поля. Ответ: $$ \boxed{\Delta t = \frac{\pi}{\omega_0} = \pi d\sqrt{\frac{ML}{S^2 B_0^2}} = \frac{\pi d}{S B_0}\sqrt{ML}.} $$