Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 2): Часть 2

Видео

Конспект

Задача 4. Колебания сверхпроводящего кольца на нити во внешнем поле

Условие. Сверхпроводящее кольцо массой $M$, радиуса $R$ (радиус проволоки $r \ll R$) подвешено на тонкой нерастяжимой нити в однородном магнитном поле $B_0$, направленном параллельно плоскости кольца. В начальный момент поток через кольцо равен нулю. Кольцо отклоняют на малый угол $\varphi_0 \ll 1$ вокруг оси нити и отпускают. Найти закон изменения угла отклонения со временем.

Решение.

После поворота на угол $\varphi$ внешний поток через кольцо (с учётом малости угла): $$

\Phi_внеш = B_0\,\pi R^2\,\sin\varphi \approx B_0\,\pi R^2\,\varphi.

$$

Из условия сохранения полного потока ($L\,I + \Phi_внеш = 0$): $$

I = -\frac{B_0\,\pi R^2\,\varphi}{L}.

$$

Магнитный момент кольца: $\boldsymbol{\mu} = I\,\pi R^2$. Возвращающий момент сил со стороны поля ($\cos\varphi \approx 1$): $$

M_возвр = -I\,\pi R^2\,B_0 = \frac{\pi^2 R^4 B_0^2}{L}\,\varphi.

$$

Момент инерции кольца относительно диаметральной оси (ось нити): $$

J = \frac{MR^2}{2}.

$$

Уравнение движения: $$

J\,\ddot{\varphi} = -\frac{\pi^2 R^4 B_0^2}{L}\,\varphi

\implies

\ddot{\varphi} + \frac{2\pi^2 R^2 B_0^2}{L\,M}\,\varphi = 0.

$$

Это уравнение гармонических колебаний с угловой частотой: $$

\Omega^2 = \frac{2\pi^2 R^2 B_0^2}{L\,M},

\qquad

L = \mu_0\,R\!\left(\ln\frac{8R}{r} - \frac{7}{4}\right).

$$

Ответ: $$

\boxed{\varphi(t) = \varphi_0\cos(\Omega t), \qquad \Omega = \pi B_0 R\sqrt{\frac{2}{L\,M}}.}

$$ Положение равновесия — плоскость кольца параллельна вектору $\mathbf{B}_0$.

Задача 5. Сверхпроводящее кольцо в неоднородном поле (горизонтальная плоскость)

Условие. На гладкой горизонтальной поверхности лежит сверхпроводящее кольцо (масса $M$, радиус $R$, площадь $S = \pi R^2$, индуктивность $L$). Вертикальная составляющая поля нарастает линейно с координатой: $$

B_y(x) = \frac{B_0\,x}{d}, \quad x \geq 0; \qquad B_y = 0, \quad x < 0.

$$ Кольцо въезжает в область поля со скоростью $v_0$. Найти время $\Delta t$ пребывания кольца в области поля ($R \ll d$).

Решение.

Поскольку кольцо сверхпроводящее, его суммарный поток равен нулю. На расстоянии $x$ от границы ток в кольце: $$

I(x) = \frac{B_y(x)\,S}{L} = \frac{B_0\,x\,S}{d\,L}.

$$

Сила, выталкивающая кольцо (аналог задачи о кольце в неоднородном поле, см. ниже): $$

F = I(x)\cdot S\cdot\frac{dB_y}{dx} = \frac{B_0\,x\,S}{d\,L}\cdot S\cdot\frac{B_0}{d}

= \frac{S^2 B_0^2}{d^2 L}\,x.

$$

Уравнение движения (сила направлена против $x$): $$

M\ddot{x} = -\frac{S^2 B_0^2}{d^2 L}\,x

\implies

\ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0, \qquad \omega_0^2 = \frac{S^2 B_0^2}{M\,d^2\,L}.

$$

Кольцо совершает половину периода гармонических колебаний, после чего покидает область поля.

Ответ: $$

\boxed{\Delta t = \frac{\pi}{\omega_0} = \pi d\sqrt{\frac{ML}{S^2 B_0^2}} = \frac{\pi d}{S B_0}\sqrt{ML}.}

$$