Сверхпроводящие кольца, левитация, прыгающее кольцо (часть 2): Часть 3

Видео

Конспект

Задача 6. Скорость сверхпроводящего кольца, оттолкнувшегося от длинного провода

Условие. На гладкой горизонтальной поверхности лежит сверхпроводящее кольцо (масса $m$, радиус $R$, площадь $S = \pi R^2$, индуктивность $L$) на расстоянии $x_0$ от длинного прямого провода. В момент $t=0$ по проводу пускают ток $I_0$. Найти скорость кольца, когда оно удалится от провода на большое расстояние.

Решение.

Магнитное поле провода на расстоянии $x$: $$

B(x) = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi x}.

$$

Из условия сохранения нулевого потока ток в кольце: $$

I_к(x) = -\frac{B(x)\,S}{L} = -\frac{\mu_0 I_0 S}{2\pi x\,L}.

$$

Сила, действующая на кольцо: $$

F = I_к(x)\cdot S\cdot\frac{dB}{dx}

= \frac{\mu_0 I_0 S}{2\pi x L}\cdot S\cdot\frac{\mu_0 I_0}{2\pi x^2}

= \frac{\mu_0^2 I_0^2 S^2}{4\pi^2 L}\cdot\frac{1}{x^3}

$$ (по модулю; направлена от провода).

Работа силы при движении от $x_0$ до $\infty$: $$

A = \int_{x_0}^{\infty} F\,dx

= \frac{\mu_0^2 I_0^2 S^2}{4\pi^2 L}\int_{x_0}^{\infty}\frac{dx}{x^3}

= \frac{\mu_0^2 I_0^2 S^2}{4\pi^2 L}\cdot\frac{1}{2x_0^2}.

$$

По теореме о кинетической энергии ($A = mv^2/2$, начальная скорость равна нулю, ток в кольце на бесконечности обратится в нуль):

Ответ: $$

\boxed{v = \frac{\mu_0 I_0 S}{2\pi x_0}\,\frac{1}{\sqrt{mL}}.}

$$

Задача 7. Токи в системе колец вблизи длинного провода с переменным током

Условие. Вблизи длинного провода с переменным током расположены три группы закреплённых проволочных колец одинакового радиуса (индуктивностью колец пренебрегаем, сопротивление одного кольца равно $R_0$):

Группа 1 («восьмёрка»): два кольца соединены последовательно, но ориентированы навстречу друг другу; суммарное сопротивление $2R_0$. Амперметр показывает ток $I_1$.

Группа 2: одно кольцо; сопротивление $R_0$. Амперметр показывает ток $I_2$ (требуется найти).

Группа 3 («восьмёрка» с перемычкой): два кольца с одинаковой ориентацией потоков, суммарное сопротивление $2R_0$. Амперметр показывает ток $I_3$.

Обозначим скорости изменения потоков через кольца на разных расстояниях от провода: $\dot{\Phi}_1$ и $\dot{\Phi}_2$.

Решение.

Токи в группах выражаются через $\dot{\Phi}_1$ и $\dot{\Phi}_2$: $$

I_1 = \frac{\dot{\Phi}_1 + \dot{\Phi}_2}{2R_0}, \qquad

I_3 = \frac{\dot{\Phi}_1 - \dot{\Phi}_2}{2R_0}, \qquad

I_2 = \frac{\dot{\Phi}_1}{R_0}.

$$

Складывая $I_1$ и $I_3$: $$

I_1 + I_3 = \frac{(\dot{\Phi}_1 + \dot{\Phi}_2) + (\dot{\Phi}_1 - \dot{\Phi}_2)}{2R_0}

= \frac{2\dot{\Phi}_1}{2R_0} = \frac{\dot{\Phi}_1}{R_0} = I_2.

$$

Ответ: $$

\boxed{I_2 = I_1 + I_3.}

$$