Термодинамика излучения. Тепловые двигатели.: Часть 1

Задача 1

Условие

В цилиндрическом сосуде, у которого все стенки зеркальные. Одна торцевая зеркальная стенка может перемещаться по всему цилиндру. В сосуде находится излучение и малая концентрация газа, теплоемкость которого стремится к нулю. Поршень медленно переместился из цилиндра и газ совершил работу. Определите связь температуры и объема в этом процессе.

Решение

Обозначим через \alpha T^4 плотность энергии равновесного излучения. Его давление равно одной трети плотности энергии. Поэтому полная внутренняя энергия выражается через давление и объём следующим образом.

U = \alpha T^{4}V,\quad\quad p = \frac{\alpha T^{4}}{3},\quad\quad U = 3pV

Поршень движется достаточно медленно, чтобы излучение успевало приходить в равновесие. Теплообмена нет, но излучение совершает работу над поршнем, поэтому его энергия уменьшается. Подставим выражение для энергии в первый закон термодинамики и продифференцируем произведение давления и объёма.

dU = - p\, dV,\quad\quad 3V\, dp + 4p\, dV = 0

Разделим уравнение на произведение давления и объёма, затем проинтегрируем. Полученный закон связывает давление с объёмом.

3\frac{dp}{p} + 4\frac{dV}{V} = 0\quad \Rightarrow \quad pV^{4/3} = const

Поскольку давление пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры, степень три четверти от давления пропорциональна кубу температуры. Отсюда получаем искомую зависимость.

Ответ

VT^{3} = V_{0}T_{0}^{3},\quad\quad T = T_{0}\left( \frac{V_{0}}{V} \right)^{1/3}

При равновесном адиабатическом расширении произведение объёма на куб абсолютной температуры постоянно; температура убывает как обратный кубический корень из объёма.

Задача 2

Условие

Цилиндрический сосуд с зеркальными стенками разделён зеркальной перегородкой на объёмы V_1 и V_2 . В первом находится тепловое излучение при температуре T_0 и небольшая примесь газа с пренебрежимой теплоёмкостью, обеспечивающая равновесие. Второй отсек первоначально пуст: в нём нет ни газа, ни излучения. Перегородку мгновенно удаляют без совершения работы. После установления равновесия температура во всём сосуде равна \frac{T_0}{2} . Найти отношение \frac{V_2}{V_1} .

Решение

Внешние стенки неподвижны и не пропускают теплоту. Перегородка удаляется без совершения работы. Следовательно, полная энергия сохраняется. Малая примесь газа обеспечивает равновесие, но заметного вклада в энергетический баланс не вносит.

\alpha T_{0}^{4}V_{1} = \alpha\left( \frac{T_{0}}{2} \right)^{4}(V_{1} + V_{2})

Плотность энергии равновесного излучения пропорциональна четвёртой степени температуры. После понижения температуры вдвое плотность энергии уменьшается в шестнадцать раз. Запишем равенство начальной и конечной энергии.

Конечный объём должен быть в шестнадцать раз больше первоначально занятого. Вычтем из него объём первого отсека и найдём отношение объёмов.

Ответ

V_{1} + V_{2} = 16V_{1},\quad\quad\frac{V_{2}}{V_{1}} = 15

Объём первоначально пустого отсека в пятнадцать раз больше объёма первого отсека.

Задача 3

Условие

На глубине 10\,\text{м} средняя температура грунта равна примерно +10\,{}^\circ\text{C} ; сезонными изменениями на этой глубине пренебрегают. Плотность направленного вверх геотермального теплового потока принимается равной 0{,}04\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} , теплопроводность грунта — 2\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{К}} . Требуется оценить среднегодовую температуру поверхности в стационарном приближении.

Решение

В стационарной одномерной модели поток через слой грунта постоянен, а теплопроводность не зависит от глубины. Плотность теплового потока равна произведению теплопроводности на температурный градиент. Площадь выбранного столбика грунта сокращается.

q = \lambda\frac{T_{10} - T_{s}}{L},\quad\quad T_{s} = T_{10} - \frac{qL}{\lambda}

Разделив плотность потока на теплопроводность, получим градиент 0{,}02\ \text{К}/\text{м} . Для слоя толщиной 10\ \text{м} разность температур составляет 0{,}2\ \text{К} . Тепло идёт вверх, поэтому поверхность холоднее грунта на заданной глубине. Вычтем этот перепад из глубинной температуры.

Ответ

\frac{q}{\lambda} = 0,02\ K/m,\quad\quad T_{s} = 10 - \frac{0,04 \cdot 10}{2} = 9,8\ ^{\circ}C

Средняя температура поверхности в заданной стационарной модели равна 9{,}8\,{}^\circ\text{C} .

Задача 4

Условие

Среднегодовая температура поверхности в рассматриваемом месте равна -10\,{}^\circ\text{C} . Теплопроводность грунта равна 2\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{К}} , а плотность геотермального потока — 0{,}04\,\frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} . Требуется оценить глубину, на которой температура достигает 0\,{}^\circ\text{C} : в стационарной модели это нижняя граница слоя с отрицательной средней температурой.

Решение

Считаем теплопроводность и плотность направленного вверх потока постоянными. Температура растёт с глубиной. Между поверхностью и нижней границей мерзлоты перепад равен 10\ \text{К} .

q = \lambda\frac{0 - ( - 10)}{L},\quad\quad L = \frac{\lambda\Delta T}{q}

По закону теплопроводности выразим толщину слоя через теплопроводность, перепад температур и плотность потока. Подставим заданные величины. Это стационарная толщина слоя, а не глубина промерзания за один сезон.

Ответ

L = \frac{2 \cdot 10}{0,04} = 500\ m

Стационарная толщина слоя с отрицательной средней температурой — 500\ \text{м} . Время его формирования по этим данным не определяется.

Задача 5

Условие

Рассматривается один моль жидкого кислорода при 90\,\text{К} и атмосферном давлении порядка 10^5\,\text{Па} , то есть в условиях кипения. Приведены изобарные удельные теплоёмкости жидкости 1{,}686\,\frac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot\text{К}} и газа 0{,}968\,\frac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot\text{К}} , молярная масса 32\,\frac{\text{г}}{\text{моль}} , молярная теплота испарения 6833\,\frac{\text{Дж}}{\text{моль}} и плотность жидкости 1140\,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} . Оцените молярную энергию связывания U_0 в модели движения молекул около положений равновесия и отличите её от потенциальной энергии жидкости при заданной температуре.

Решение

Переведём удельные изобарные теплоёмкости в молярные умножением на молярную массу. Для жидкости получается около 53{,}9\ \text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К}) , или 6{,}5R ; для газа — около 31\ \text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К}) .

C_{p,\ell} = \mu c_{p,\ell} \simeq 53,9\ J/(mol\, K),\quad C_{p,g} \simeq 31\ J/(mol\, K)

Для газа приближённо используем соотношение Майера. Полученная изохорная теплоёмкость около 2{,}7R близка к значению 5R/2 модели двухатомных молекул с тремя поступательными и двумя вращательными степенями свободы. Колебательные степени свободы не учитываем.

C_{V,g} \simeq C_{p,g} - R \simeq 2,7R,\quad\quad U_{\ell,m} \simeq U_{0} + 5RT,\quad U_{g,m} \simeq \frac{5}{2}RT

В жидкости используем приближение движения около положений равновесия: положительная потенциальная энергия теплового движения равна кинетической. Тогда к отрицательной энергии связывания добавляется 5RT на моль. Удвоение теплового вклада — предпосылка этой модели; оно не следует только из табличной теплоёмкости.

U_{0} + 5RT + L_{m} = \frac{5}{2}RT + RT

При испарении подведённая теплота расходуется на изменение внутренней энергии и работу. Объёмом жидкости по сравнению с объёмом пара пренебрегаем; работа против внешнего давления равна приблизительно RT на моль. Потенциальной энергией взаимодействия молекул в разреженном паре также пренебрегаем.

Из баланса находим энергию связывания. Затем отдельно прибавляем потенциальную часть теплового движения, чтобы получить потенциальную энергию жидкости при данной температуре. Превышение теплоёмкости жидкости над 5R показывает ограниченность модели постоянной глубины ямы; оценка не является точным восстановлением межмолекулярного потенциала.

Ответ

U_{0} = - L_{m} - \frac{3}{2}RT \simeq - 6833 - \frac{3}{2} \cdot 8,31 \cdot 90 \simeq - 7,95\ kJ/mol

U_{pot,\ell,m}(T) \simeq U_{0} + \frac{5}{2}RT

Молярная энергия связывания в принятой модели составляет около -7{,}95\ \text{кДж}/\text{моль} . Потенциальная энергия жидкости при 90\ \text{К} включает положительную тепловую добавку и составляет в той же модели около -6{,}09\ \text{кДж}/\text{моль} .