шишкина_семинар 4: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1

Условие

В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под поршнем массой m = 10\ кг и площадью поперечного сечения S = 50\ см^2 находится разреженный газ (см. рис.). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленным вверх и равным по модулю a = 1\ м/c^2 , высота столба газа под поршнем постоянна и на 5 % меньше, чем в покоящемся сосуде. Считая температуру газа под поршнем неизменной, а наружное давление постоянным, найдите это наружное давление. Масса газа под поршнем постоянна.

image_task3 Решение

По условию газ разреженный, значит его можно считать идеальным. Запишем условие равновесия поршня для начальной ситуации: p_1 = p_{н} + p_{п1} = p_{н} + \frac{mg}{S}. Здесь p_1 – давление газа под поршнем в первой ситуации, p_{н} – наружное давление, p_{п1} – давление неподвижного поршня. Теперь запишем условие равновесия для второй ситуации: p_2 = p_{н} + p_{п2} = p_{н} + \frac{mg + ma}{S}. Здесь p_{п2} – давление, производимое движущимся поршнем. Из условия найдем отношение объемов: \frac{V_2}{V_1} = \frac{h_2}{h_1} = 0,95. Так как масса и температура газа постоянны, то процесс изотермический, значит: p_1 V_1 = p_2 V_2, \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{0,95}, \implies p_1 = 0,95 p_2. Подставим сюда p_1 и p_2 и выразим искомое давление: p_{н} + \frac{mg}{S} = 0,95 \left(p_{н} + \frac{m(g + a)}{S}\right); p_{н} - 0,95 p_{н} = 0,95 \frac{mg + ma}{S} - \frac{mg}{S}; 0,05 p_{н} = \frac{m}{S} (0,95a - 0,05g); p_{н} = \frac{10\ кг}{0,05 \cdot 5 \cdot 10^{-3}\ м^2} (0,95 \cdot 1\ м/с^2 - 0,05 \cdot 10\ м/с^2) = 18\ 000\ Па.

Задача 2

Условие

Гелий в количестве \vartheta = 1/20 моля находится в горизонтальном закреплённом цилиндре с поршнем, который может без трения перемещаться в цилиндре и вначале удерживается в равновесии силой F_1 = 280\ Н . При этом среднеквадратичная скорость движения атомов гелия составляет u_1 = 1400\ м/с . Затем гелий стали охлаждать, а поршень медленно сдвигать, постепенно уменьшая действующую на него силу. Когда эта сила равнялась F_2 = 150\ Н , среднеквадратичная скорость движения атомов гелия стала равной u_2 = 1200\ м/с . На какое расстояние \Delta l при этом сдвинулся поршень? Внешним давлением пренебречь.

Решение

Обозначим начальный объём гелия в цилиндре через V_1 = S \cdot l_1 , а давление – через p_1 = F_1 / S , где площадь поршня равна S , а длина столба газа равна l_1 . Тогда, согласно уравнению Менделеева-Клапейрона, p_1 V_1 = F_1 l_1 = \vartheta R T_1 . Среднеквадратичная скорость атомов гелия при начальной температуре T_1 равна: u_1 = \sqrt{\frac{3RT_1}{\mu}}, \implies T_1 = \frac{\mu u_1^2}{3R}, где \mu — молярная масса гелия, \mu = 4\ г/моль . С учетом соотношений выше, получим: l_1 = \frac{\vartheta \mu u_1^2}{3F_1}. Для второй ситуации аналогично: l_2 = \frac{\vartheta \mu u_2^2}{3F_2}. Теперь несложно определить искомый сдвиг поршня: \Delta l = l_2 - l_1 = \frac{\vartheta \mu}{3} \left( \frac{u_2^2}{F_2} - \frac{u_1^2}{F_1} \right), \Delta l = \frac{0,05\ моль \cdot 4 \cdot 10^{-3}\ кг/моль}{3} \left( \frac{(1200\ м/с)^2}{150\ Н} - \frac{(1400\ м/с)^2}{280\ Н} \right) \approx 0,173\ м = 17,3\ см.

Задача 3

Условие

В цилиндр объёмом 0,5\ м^3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002\ кг/с . В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке A (см. рис.). К свободному концу стержня длиной 0,5\ м подвешен груз массой 2\ кг . Клапан открывается через 580\ с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5 \cdot 10^{-4}\ м^2 . Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300\ К . Определите длину AB.

image_task5 Решение

Клапан откроется, когда избыточная сила F давления воздуха на клапан изнутри цилиндра сравняется с силой давления стержня на этот клапан. Если превышение давления воздуха в цилиндре над атмосферным \Delta p , а площадь клапана s , то F = s \cdot \Delta p . Сила действия стержня на клапан равна mgL/l , где m , L и l соответственно масса груза, длина стержня и длина его участка AB. Итак, должно выполняться условие s \cdot \Delta p \geq \frac{mgL}{l}. Дополнительное давление воздуха определяется увеличением массы \Delta m_{в} воздуха в цилиндре. Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона: \Delta p = \frac{\Delta m_{в} R T}{\mu V}, где \mu - молярная масса воздуха, \mu = 29\ г/моль . Запишем условие открытия клапана: s \frac{\Delta m_{в} R T}{\mu V} \geq \frac{mgL}{l}, или l \geq \frac{mgL\mu V}{s \Delta m_{в} R T}. Если насос закачивает каждую секунду w\ кг воздуха, то за время t он закачает в цилиндр массу \Delta m_{в} = wt . Следовательно, клапан откроется в момент, когда выполнится равенство l = \frac{mgL\mu V}{swtRT} = \frac{2\ кг \cdot 10\ м/с^2 \cdot 0,5\ м \cdot 29 \cdot 10^{-3}\ кг/моль \cdot 0,5\ м^3}{5 \cdot 10^{-4}\ м^2 \cdot 0,002\ кг/с \cdot 580\ с \cdot 8,31\ Дж/(моль\cdotК) \cdot 300\ К} = 0,1\ м.